Question

（1）（用綜合法證明）已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且A、B、C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，證明：△ABC為等邊三角形．
（2）（用分析法證明）已知a＞b＞c，求證：

1

a-b

+

1

b-c

≥

4

a-c

．

Answer 1

考點(diǎn)：綜合法與分析法(選修）

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）先確定B的度數(shù)，再利用a、b、c依次成等比數(shù)列，及余弦定理，即可證得結(jié)論；
（2）把證明不等式轉(zhuǎn)化為尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件顯然已經(jīng)具備為止．

解答： 證明：（1）∵三內(nèi)角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列
∴2B=A+C，
∵A+B+C=180°，
∴B=60°，
∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b²=ac，
∴cosB=

1

2

，
∴（a-c）²=0，∴a=c，
∵B=60°
∴△ABC為等邊三角形；
（2）要證明：

1

a-b

+

1

b-c

≥

4

a-c

，
只要證明：[（a-b）+（b-c）][

1

a-b

+

1

b-c

]≥4，
只要證明：

b-c

a-b

+

a-b

b-c

≥2，顯然成立，
∴

1

a-b

+

1

b-c

≥

4

a-c

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，解題的關(guān)鍵是確定角與邊的關(guān)系．用分析法證明不等式，把證明不等式轉(zhuǎn)化為尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件顯然已經(jīng)具備為止