Question

如圖，拋物線C：y=-

1

3

x²+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為P、F₁、F₂．
（1）求以F₁、F₂為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓方程；
（2）經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，若

AO

=3

OB

，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用拋物線方程直接求出，P、F₁、F₂的坐標(biāo)，即可求以F₁、F₂為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓方程；
（2）經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用

AO

=3

OB

，列出關(guān)系式，即可求直線l的方程．

解答： 解：（1）由y=-

1

3

x²+1解得P（0，1）、F₁（-

3

，0）、F₂（

3

，0），所以b=1，c=

3

，從而a=2，
橢圓的方程為

x2

4

+y²=1．----（5分）
（2）依題意設(shè)l：y=kx，
由

y=kx y=- 1 3 x2+1

，得x²+3kx-3=0．----（8分）
依題意得：

3k2-4×1×(-3)＞0 xA+xB=-3k xA•xB=-3 xA=-3xB

解得k=±

2

3

．
所以，直線l的方程是y=

2

3

x或y=-

2

3

x．----（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的應(yīng)用，橢圓方程的求法，直線與拋物線方程的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．