(理)斜率為1的直線過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),且與拋物線交于兩點(diǎn)A、B.
(1)若p=2,求|AB|的值;
(2)將直線AB按向量平移得直線m,N是m上的動(dòng)點(diǎn),求的最小值.
(3)設(shè)C(p,0),D為拋物線y2=2px(p>0)上一動(dòng)點(diǎn),是否存在直線l,使得l被以CD為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在,求出l的方程;若不存在,說明理由.
【答案】分析:(1)由已知條件,得到拋物線的方程,再根據(jù)拋物線的定義得到|AB|=x1+x2+p=4p,
(2)設(shè)直線l的方程,將直線的方程代入拋物線的方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量坐標(biāo)運(yùn)算,求得 的以N點(diǎn)坐標(biāo)表示的函數(shù)式,利用二次函數(shù)求最值的方法,可求得所求的最小值.
(3)對(duì)于存在性問題,可先假設(shè)存在,即假設(shè)滿足條件的直線l存在,其方程為x=a,再利用l被以CD為直徑的圓截得的弦長恒為定值,求出p,若出現(xiàn)矛盾,則說明假設(shè)不成立,即不存在;否則存在.
解答:解:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),p=2時(shí),直線AB:y=x-1,代入y2=4x中
可得:x2-6x+1=0(2分)
則x1+x2=6,由定義可得:|AB|=x1+x2+p=8.(4分)
(2)直線AB:,代入y2=2px(p>0)中,可得:
則x1+x2=3p,,設(shè)

(2分)
(4分)

當(dāng)x=p時(shí),的最小值為.                            (6分)
(3)假設(shè)滿足條件的直線l存在,其方程為x=a,
設(shè)CD的中點(diǎn)為O',l與以CD為直徑的圓相交于點(diǎn)P、Q,設(shè)PQ的中點(diǎn)為H,
則O'H⊥PQ,O'點(diǎn)的坐標(biāo)為
,
,(2分)
∴|PH|2=|O'P|2-|O'H|2==,
∴|PQ|2=(2|PH|)2=.                    (5分)
,得,此時(shí)|PQ|=p為定值,
故滿足條件的直線l存在,其方程為,即拋物線的通徑所在的直線. (7分)
點(diǎn)評(píng):此題考查拋物線的定義,及向量坐標(biāo)運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
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(2009•閔行區(qū)二模)(理)斜率為1的直線過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),且與拋物線交于兩點(diǎn)A、B.
(1)若p=2,求|AB|的值;
(2)將直線AB按向量
a
=(-p,0)
平移得直線m,N是m上的動(dòng)點(diǎn),求
NA
NB
的最小值.
(3)設(shè)C(p,0),D為拋物線y2=2px(p>0)上一動(dòng)點(diǎn),是否存在直線l,使得l被以CD為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在,求出l的方程;若不存在,說明理由.

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(2009•青浦區(qū)二模)(理)已知A、B是拋物線y2=4x上的相異兩點(diǎn).
(1)設(shè)過點(diǎn)A且斜率為-1的直線l1,與過點(diǎn)B且斜率為1的直線l2相交于點(diǎn)P(4,4),求直線AB的斜率;
(2)問題(1)的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個(gè)要素:已知圓錐曲線Γ,過該圓錐曲線上的相異兩點(diǎn)A、B所作的兩條直線l1、l2相交于圓錐曲線Γ上一點(diǎn);結(jié)論是關(guān)于直線AB的斜率的值.請(qǐng)你對(duì)問題(1)作適當(dāng)推廣,并給予解答;
(3)若線段AB(不平行于y軸)的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)Q(x0,0).若x0=5,試用線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示線段AB的長度,并求出中點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍.

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(理)斜率為1的直線過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),且與拋物線交于兩點(diǎn)A、B.
(1)若p=2,求|AB|的值;
(2)將直線AB按向量
a
=(-p,0)
平移得直線m,N是m上的動(dòng)點(diǎn),求
NA
NB
的最小值.
(3)設(shè)C(p,0),D為拋物線y2=2px(p>0)上一動(dòng)點(diǎn),是否存在直線l,使得l被以CD為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在,求出l的方程;若不存在,說明理由.

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