(理)斜率為1的直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),且與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)A、B.
(1)若p=2,求|AB|的值;
(2)將直線(xiàn)AB按向量
a
=(-p,0)
平移得直線(xiàn)m,N是m上的動(dòng)點(diǎn),求
NA
NB
的最小值.
(3)設(shè)C(p,0),D為拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)上一動(dòng)點(diǎn),是否存在直線(xiàn)l,使得l被以CD為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值?若存在,求出l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.
(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),p=2時(shí),直線(xiàn)AB:y=x-1,代入y2=4x中
可得:x2-6x+1=0(2分)
則x1+x2=6,由定義可得:|AB|=x1+x2+p=8.(4分)
(2)直線(xiàn)AB:y=x-
p
2
,代入y2=2px(p>0)中,可得:x2-3px+
1
4
p2=0

則x1+x2=3p,x1x2=
p2
4
,設(shè)N(x0,x0+
p
2
)
,
NA
=(x1-x0y1-x0-
p
2
),
NB
=(x2-x0y2-x0-
p
2
)

NA
NB
=x1x2-x0(x1+x2)+
x20
+y1y2-(x0+
p
2
)(y1+y2)+(x0+
p
2
)2
(2分)
x1+x2=3p,x1x2=
p2
4
y1y2=-p2,y1+y2=2p
(4分)
NA
NB
=2
x20
-4px0-
3
2
p2=2(x0-p)2-
7
2
p2

當(dāng)x0=p時(shí),
NA
NB
的最小值為-
7
2
p2
.                            (6分)
(3)假設(shè)滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l存在,其方程為x=a,
設(shè)CD的中點(diǎn)為O',l與以CD為直徑的圓相交于點(diǎn)P、Q,設(shè)PQ的中點(diǎn)為H,
則O'H⊥PQ,O'點(diǎn)的坐標(biāo)為(
x1+p
2
,
y1
2
)

|O′P|=
1
2
|CD|=
1
2
(
x 1
-p)
2
+y12
=
1
2
x21
+p2
,
|O′H|=|a-
x1+p
2
|=
1
2
|2a-x1-p|
,(2分)
∴|PH|2=|O'P|2-|O'H|2=
1
4
(
x21
+p2)-
1
4
(2a-x1-p)2
=(a-
p
2
)x1+a(p-a)

∴|PQ|2=(2|PH|)2=4[(a-
p
2
)x1+a(p-a)]
.                    (5分)
a-
p
2
=0
,得a=
p
2
,此時(shí)|PQ|=p為定值,
故滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l存在,其方程為x=
p
2
,即拋物線(xiàn)的通徑所在的直線(xiàn). (7分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•閔行區(qū)二模)(理)斜率為1的直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),且與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)A、B.
(1)若p=2,求|AB|的值;
(2)將直線(xiàn)AB按向量
a
=(-p,0)
平移得直線(xiàn)m,N是m上的動(dòng)點(diǎn),求
NA
NB
的最小值.
(3)設(shè)C(p,0),D為拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)上一動(dòng)點(diǎn),是否存在直線(xiàn)l,使得l被以CD為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值?若存在,求出l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•青浦區(qū)二模)(理)已知A、B是拋物線(xiàn)y2=4x上的相異兩點(diǎn).
(1)設(shè)過(guò)點(diǎn)A且斜率為-1的直線(xiàn)l1,與過(guò)點(diǎn)B且斜率為1的直線(xiàn)l2相交于點(diǎn)P(4,4),求直線(xiàn)AB的斜率;
(2)問(wèn)題(1)的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個(gè)要素:已知圓錐曲線(xiàn)Γ,過(guò)該圓錐曲線(xiàn)上的相異兩點(diǎn)A、B所作的兩條直線(xiàn)l1、l2相交于圓錐曲線(xiàn)Γ上一點(diǎn);結(jié)論是關(guān)于直線(xiàn)AB的斜率的值.請(qǐng)你對(duì)問(wèn)題(1)作適當(dāng)推廣,并給予解答;
(3)若線(xiàn)段AB(不平行于y軸)的垂直平分線(xiàn)與x軸相交于點(diǎn)Q(x0,0).若x0=5,試用線(xiàn)段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度,并求出中點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2009年上海市閔行區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷(文理合卷)(解析版) 題型:解答題

(理)斜率為1的直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),且與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)A、B.
(1)若p=2,求|AB|的值;
(2)將直線(xiàn)AB按向量平移得直線(xiàn)m,N是m上的動(dòng)點(diǎn),求的最小值.
(3)設(shè)C(p,0),D為拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)上一動(dòng)點(diǎn),是否存在直線(xiàn)l,使得l被以CD為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值?若存在,求出l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2009年上海市閔行區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷(文理合卷)(解析版) 題型:解答題

(理)斜率為1的直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),且與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)A、B.
(1)若p=2,求|AB|的值;
(2)將直線(xiàn)AB按向量平移得直線(xiàn)m,N是m上的動(dòng)點(diǎn),求的最小值.
(3)設(shè)C(p,0),D為拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)上一動(dòng)點(diǎn),是否存在直線(xiàn)l,使得l被以CD為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值?若存在,求出l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

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