Question

（2012•遼寧模擬）已知向量

m

=(sin2x+

1+cos2x

2

，sinx)，

n

=(

1

2

cos2x-

3

2

sin2x，2sinx)，設(shè)函數(shù)f(x)=

m

•

n

，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]，求函數(shù)f（x）值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積公式，確定函數(shù)解析式，利用輔助角公式化簡函數(shù)，從而可得函數(shù)的最小正周期；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=1-sin(2x+

π

6

)，根據(jù)x∈[0，

π

2

]，確定2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，從而可得sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，進(jìn)而可得函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵向量

m

=(sin2x+

1+cos2x

2

，sinx)，

n

=(

1

2

cos2x-

3

2

sin2x，2sinx)，
∴f(x)=

m

•

n

=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+2sin2x=1-

1

2

cos2x-

3

2

sin2x=1-sin(2x+

π

6

)．（4分）
所以其最小正周期為T=

2π

2

=π．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=1-sin(2x+

π

6

)，
又∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]
∴1-sin(2x+

π

6

)∈[0，

3

2

]．（10分）
所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)?span id="rkcgkv6" class="MathJye">[0，

3

2

]．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積，考查三角函數(shù)的化簡，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，利用輔助角公式化簡函數(shù)是解題的關(guān)鍵．