Question

若雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左頂點與拋物線y²=2px（p＞0）的焦點的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為（-2，2），則雙曲線的焦距為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知方程即可得出雙曲線的左頂點、一條漸近線方程與拋物線的焦點、準線的方程，再根據(jù)數(shù)量關系即可列出方程，解出即可．

解答： 解：∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左頂點（-a，0）與拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F的距離為4，
∴

p

2

+a=4，
雙曲線的一條漸近線的方程是y=-

b

a

x，而拋物線的準線方程為x=-

p

2

，
∵雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為（-2，2），
∴2=

2b

a

，

p

2

=2，
∴p=4，a=b=2，
∴c=

a2+b2

=2

2

∴2c=4

2

，
故雙曲線的焦距為4

2

．
故答案為：4

2

．

點評：本題考查雙曲線與拋物線的性質(zhì)，注意題目“雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為（-2，2）”這一條件的運用，另外注意題目中要求的焦距即2c，容易只計算到c，就得到結(jié)論．