Question

已知命題p：任意x∈R，x²+1≥a，命題q：函數(shù)f（x）=x²-2ax+1在（-∞，-1]上單調(diào)遞減．
（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若p和q均為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：（1）對(duì)于命題p：任意x∈R，x²+1≥a，由x²≥0，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)q為真命題時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-2ax+1=（x-a）²+1-a²在（-∞，-1]上單調(diào)遞減．
利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得a≥-1，由于p和q均為真命題，因此

a≤1 a≥-1

，解得即可．

解答： 解：（1）對(duì)于命題p：任意x∈R，x²+1≥a，∵x²≥0，∴a≤1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]；
（2）當(dāng)q為真命題時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-2ax+1在（-∞，-1]上單調(diào)遞減．
∴a≥-1，
∵p和q均為真命題，∴

a≤1 a≥-1

，解得-1≤a≤1，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、簡(jiǎn)易邏輯的有關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．