【題目】我們常常稱恒成立不等式(,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)為“靈魂不等式”,它在處理函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中常常發(fā)揮重要作用.
(1)試證明這個(gè)不等式;
(2)設(shè)函數(shù),且在定義域內(nèi)恒有,求實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1)見(jiàn)證明;(2)1
【解析】
(1)方法1:應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法;方法2:構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)最大值,使其小于等于0;
(2)函數(shù)定義域是,首先將轉(zhuǎn)化為,對(duì)x分類(和)后分離參數(shù),利用(1)中的結(jié)論“靈魂不等式”求解a的值.
(1)法1(圖象法):在同一坐標(biāo)系下作出曲線和直線,發(fā)現(xiàn)它們均經(jīng)過(guò)定點(diǎn),且,即直線是曲線在定點(diǎn)處的切線.
故,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立).
法2(導(dǎo)數(shù)法):令,則.
顯然在內(nèi)單增,在內(nèi)單減, 因此
于是.即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
(2)函數(shù)的定義域是.
等價(jià)于,
即:
當(dāng)時(shí),. 由靈魂不等式:知, ,
因此
當(dāng)時(shí),. 由靈魂不等式:知, ,
因此 當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,
綜上可知,實(shí)數(shù)的值是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,P為A1D1的中點(diǎn),Q為A1B1上任意一點(diǎn),E,F(xiàn)為CD上任意兩點(diǎn),且EF的長(zhǎng)為定值,則下面的四個(gè)值中不為定值的是( )
A.點(diǎn)Q到平面PEF的距離
B.直線PE與平面QEF所成的角
C.三棱錐P﹣QEF的體積
D.二面角P﹣EF﹣Q的大小
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】把半橢圓(x≥0)與圓。x﹣c)2+y2=a2(x<0)合成的曲線稱作“曲圓”,其中F(c,0)為半橢圓的右焦點(diǎn).如圖,A1,A2,B1,B2分別是“曲圓”與x軸、y軸的交點(diǎn),已知∠B1FB2=,扇形FB1A1B2的面積為.
(1)求a,c的值;
(2)過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為θ的直線交“曲圓”于P,Q兩點(diǎn),試將△A1PQ的周長(zhǎng)L表示為θ的函數(shù);
(3)在(2)的條件下,當(dāng)△A1PQ的周長(zhǎng)L取得最大值時(shí),試探究△A1PQ的面積是否為定值?若是,請(qǐng)求出該定值;若不是,請(qǐng)求出面積的取值范圍.
-
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥BC,E是棱PC的中點(diǎn),∠DAB=90°,AB∥CD,AD=CD=2AB=2.
(Ⅰ)求證:PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)若二面角E﹣BD﹣P大于60°,求四棱錐P﹣ABCD體積的取值范圍.
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【題目】對(duì)于函數(shù)f(x)=atanx+bx3+cx(a、b、c∈R),選取a、b、c的一組值計(jì)算f(1)、f(﹣1),所得出的正確結(jié)果可能是( )
A.2和1
B.2和0
C.2和﹣1
D.2和﹣2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓與直線,且直線有唯一的一個(gè)點(diǎn),使得過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線互相垂直,則_____;設(shè)是直線上的一條線段,若對(duì)于圓上的任意一點(diǎn),則的最小值_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知命題p:不等式ax2+ax+1>0的解集為R,則實(shí)數(shù)a∈(0,4);命題q“x2﹣2x﹣8>0”是“x>5”的必要不充分條件,則下列命題正確的是( )
A.p∧q
B.p∧(¬q)
C.(¬p)∧(¬q)
D.(¬p)∧q
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位:萬(wàn)人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.
根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月,波動(dòng)性更小,變化比較平穩(wěn)
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【題目】已知圓,直線
(1)求證:不論取何實(shí)數(shù),直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
(2)設(shè)直線與圓交于點(diǎn),當(dāng)時(shí),求直線的方程.
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