Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，求證：.

Answer 1

【答案】(1)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，＋∞);(2)見解析.

【解析】分析：（1）當(dāng)a=時，求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）構(gòu)造函數(shù)F（x）=x﹣f（x）=ex﹣（a﹣1）x，利用導(dǎo)數(shù)證明F（x）≥0即可．

詳解：(1)當(dāng)a=1時，f(x)＝x－ex.

令f′(x)＝1－ex＝0，得x＝0.

當(dāng)x<0時，f′(x)>0；當(dāng)x>0時，f′(x)<0.

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，＋∞)．

(2)證明：令F(x)＝x－f(x)＝ex－(a－1)x.

①當(dāng)a＝1時，F(xiàn)(x)＝ex>0，∴f(x)≤x成立；

②當(dāng)1<a≤1＋e時，F(xiàn)′(x)＝ex－(a－1)＝ex－eln(a－1)，

當(dāng)x<ln(a－1)時，F(xiàn)′(x)<0；當(dāng)x>ln(a－1)時，F(xiàn)′(x)>0，

∴F(x)在(－∞，ln(a－1))上單調(diào)遞減，在(ln(a－1)，＋∞)上單調(diào)遞增，

∴F(x)≥F(ln(a－1))＝eln(a－1)－(a－1)ln(a－1)＝(a－1)[1－ln(a－1)]，

∵1<a≤1＋e，∴a－1>0，1－ln(a－1)≥1－ln[(1＋e)－1]＝0，

∴F(x)≥0，即f(x)≤x成立．

綜上，當(dāng)1≤a≤1＋e時，有f(x)≤x.