Question

設f（x）是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，若f(

1

2

)=0，三角形的內(nèi)角A滿足f（cosA）＜0，則A的取值范圍是

(

π

3

，

π

2

)∪(

2π

3

，π)

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)在R上的奇偶性和在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性可以判斷f（x）在區(qū)間（-∞，0）的單調(diào)性再分角A是銳角，直角還是鈍角三種情況討論，cosA的正負，利用f（x）的單調(diào)性解不等式．

解答：解：∵f（x）是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在區(qū)間（-∞，0）上也單調(diào)遞增．
∵f(

1

2

)=0，∴f(-

1

2

)=0，
當A為銳角時，cosA＞0，∴不等式f（cosA）＜0變形為f（cosA）＜f（

1

2

），0＜cosA＜

1

2

，

π

3

＜A＜

π

2

當A為直角時，cosA=0，而奇函數(shù)滿足f（0）=0，∴A為直角不成立．
當A為鈍角時，cosA＜0，∴不等式f（cosA）＜0變形為f（cosA）＜f（-

1

2

），＜cosA＜-

1

2

，

2π

3

＜A＜π
綜上，A的取值范圍為(

π

3

，

π

2

)∪(

2π

3

，π)
故答案為(

π

3

，

π

2

)∪(

2π

3

，π)

點評：本題主要考查了綜合運用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解含函數(shù)符號的不等式，易錯點是只考慮函數(shù)在（0，+∞）的單調(diào)性，沒有考慮（-∞，0）的單調(diào)性．