Question

設(shè)函數(shù)y=f（x），（x∈R^*）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x₁、x₂∈R^*，都滿足f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0且f（4）=1
（1）求證：f（1）=0
（2）求f(

1

16

)的值
（3）解不等式f（x）+f（x-3）≤1．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）滿足f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），可以利用賦值法，令x₁=x₂=1，化簡就可得到f（1）=0．
（1）函數(shù)f（x）滿足f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），令x₁=x₂=4，就可求出f（16）的值，再令x₁=x₂=

1

16

，就可求出
f(

1

16

)的值．
（3）先用定義法證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，再利用函數(shù)f（x）滿足f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），把不等式f（x）+f（x-3）≤1變形為f（x（x-3））≤f（4），就可利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式．

解答：解；（1）證明：∵函數(shù)f（x）滿足f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），
令x₁=x₂=1，得，f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0
（2）函數(shù)f（x）滿足f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），
令x₁=x₂=4，就可求出f（16）的值，得f（16）=f（4）+f（4）=1+1=2
再令x₁=x₂=

1

16

，得，f(1)=f(16×

1

16

)=f(16)+f(

1

16

)
∴f(

1

16

)=-2
（3）先證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性
設(shè)0＜x1＜x2，則

x2

x1

＞1有f(

x2

x1

)＞0，而f(x2)=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)
所以有f（x₁）＜f（x₂），從而函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，而不等式  f（x）+f（x-3）≤1等價(jià)于

f[x(x-3)]≤f(4) x＞0 x-3＞0

也即是 

x(x-3)≤4 x＞0 x-3＞0

解得x∈（3，4]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了賦值法求抽象函數(shù)的函數(shù)值，判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性，以及應(yīng)用單調(diào)性解不等式．