Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax+1，a∈R，記F（x）=f（x）-g（x）．
（1）求曲線y=f（x）在x=e處的切線方程；
（2）求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=

1

x

，則函數(shù)f（x）在x=e處的切線的斜率為k=

1

e

．又f（e）=1，從而求出函數(shù)f（x）在x=e處的切線方程，
（2）由F（x）=lnx-ax-1，得F′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，（x＞0）．分情況討論①當(dāng)a≤0時(shí)，②當(dāng)a＞0時(shí)，令F′（x）＜0，從而得出單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

x

，則函數(shù)f（x）在x=e處的切線的斜率為k=

1

e

．
又f（e）=1，
所以函數(shù)f（x）在x=e處的切線方程為
y-1=

1

e

（x-e），
即y=

1

e

x．                 
（2）F（x）=lnx-ax-1，
∴F′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，（x＞0）．
①當(dāng)a≤0時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＞0時(shí)，令F′（x）＜0，解得x＞

1

a

；令F′（x）＞0，解得0＜x＜

1

a

．
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)F（x）的增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)F（x）的增區(qū)間是（0，

1

a

），減區(qū)間是（

1

a

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，是一道基礎(chǔ)題．