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收集本地區(qū)教育儲蓄信息,有一公民的儲蓄方式為:第一年末存入a1元,以后每年末存入的數目均比上一年增加d(d>0)元,因此,歷年所存入的教育儲蓄金數目a1,a2,…是一個公差為d的等差數列,與此同時,政府給予優(yōu)惠的計息政策,不僅采用固定利率,而且計算復利,也不征利息稅.這就是說,如果固定年利率為p(p>0),那么,在第n年末,第一年所存入的儲蓄金就變?yōu)閍1(1+p)n-1,第二年所存入的儲蓄金就變?yōu)閍2(1+p)n-2,…,以Wn表示到第n年末所累計的儲蓄金總額.
(1)寫出Wn與Wn-1(n≥2)的遞推關系式;
(2)是否存在數列{An},{Bn}使Wn=An+Bn,其中{An}是一個等比數列,{Bn}是一個等差數列,說明你的理由.
【答案】分析:(1)根據第n年末,第一年所存入的儲蓄金就變?yōu)閍1(1+p)n-1,第二年所存入的儲蓄金就變?yōu)閍2(1+p)n-2,…,可求Wn與Wn-1(n≥2)的遞推關系式;
(2)根據(1)的結論,反復使用,可得Wn=a1(1+p)n-1+a2(1+p)n-2+…+an-1(1+p)+an,兩邊同乘以(1+p),利用錯位相減法求和,結合等差數列等比數列的定義,可得結論.
解答:解:(1)根據第n年末,第一年所存入的儲蓄金就變?yōu)閍1(1+p)n-1,第二年所存入的儲蓄金就變?yōu)閍2(1+p)n-2,…,可知W1=a1,W2=W1(1+p)+a2,Wn=Wn-1(1+p)+an(n≥2)…4分
(2)W1=a1,Wn=Wn-1(1+p)+an,對n≥2反復使用上述關系式,
得Wn=Wn-1(1+p)+an=[Wn-2(1+p)+an-1](1+p)+an=Wn-2(1+p)2+(1+p)an-1+an
…=W1(1+p)n-1+a2(1+p)n-2+…+an-1(1+p)+anWn=a1(1+p)n-1+a2(1+p)n-2+…+an-1(1+p)+an①…6分
(1+p)Wn=a1(1+p)n+a2(1+p)n-1+…+an-1(1+p)2+an(1+p)②
②-①pWn=a1(1+p)n+d(1+p)n-1+d(1+p)n-2…+d(1+p)-an=…8分

如果記,,…10分
則Tn=An+Bn
其中{An}是以為首項,以(1+p)(p>0)為公比的等比數列;{Bn}是以為首項,為公差的等差數列.…14分
點評:本題的考點是數列的應用,解題的關鍵是從實際問題中抽象出數列模型,再利用數列的求和方法進行求和.判斷一個數列是否是等差(比)數列,我們有如下辦法:①定義法②通項公式法(如本題)③前n項和公式法④等差(比)中項法.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

收集本地區(qū)教育儲蓄信息,有一公民的儲蓄方式為:第一年末存入a1元,以后每年末存入的數目均比上一年增加d(d>0)元,因此,歷年所存入的教育儲蓄金數目a1,a2,…是一個公差為d的等差數列,與此同時,政府給予優(yōu)惠的計息政策,不僅采用固定利率,而且計算復利,也不征利息稅.這就是說,如果固定年利率為p(p>0),那么,在第n年末,第一年所存入的儲蓄金就變?yōu)閍1(1+p)n-1,第二年所存入的儲蓄金就變?yōu)閍2(1+p)n-2,…,以Wn表示到第n年末所累計的儲蓄金總額.
(1)寫出Wn與Wn-1(n≥2)的遞推關系式;
(2)是否存在數列{An},{Bn}使Wn=An+Bn,其中{An}是一個等比數列,{Bn}是一個等差數列,說明你的理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

許多因素都會影響貧窮,教育也許是其中的一個,在研究這兩個因素的關系時,收集了某國50個地區(qū)的成年人至多受過9年教育的百分比(x%)和收入低于官方規(guī)定的貧困線的人數占本地區(qū)人數的百分比(y%)的數據,建立的回歸直線方程是y=0.8x+4.6,這里,斜率的估計0.8說明一個地區(qū)受過9年或更少的教育的百分比每增加
1%
1%
,則收入低于官方規(guī)定的貧困線的人數占本地區(qū)人數的百分比將增加
0.8%
0.8%
左右.

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科目:高中數學 來源: 題型:044

收集本地區(qū)有關教育儲蓄的信息,思考以下問題.

(1)依教育儲蓄的方式,每月存50元,連續(xù)存3年,到期(3)6年時一次可支取本息共多少元?

(2)依教育儲蓄的方式,每月存a元,連續(xù)存3年,到期(3)6年時一次可支取本息共多少元?

(3)依教育儲蓄的方式,每月存50元,連續(xù)存3年,到期(3)時一次可支取本息比同檔次的“零存整取”多收益多少元?

(4)欲在3年后一次支取教育儲蓄本息合計1萬元,每月應存入多少元?

(5)欲在3年后一次支取教育儲蓄本息合計a萬元,每月應存入多少元?

(6)依教育儲蓄的方式,原打算每月存100元,連續(xù)存6年,可是到4年時,學生需要提前支取全部本息,一次可支取本息共多少元?

(7)依教育儲蓄的方式,原打算每月存a元,連續(xù)存6年,可是到b年時,學生需要提前支取全部本息,一次可支取本息共多少元?

(8)不用教育儲蓄的方式,而用其他的儲蓄形式,以每月可存100元,6年后使用為例,探討以現行的利率標準可能的最大收益,將得到的結果與教育儲蓄比較.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

收集本地區(qū)教育儲蓄信息,有一公民的儲蓄方式為:第一年末存入a1元,以后每年末存入的數目均比上一年增加d(d>0)元,因此,歷年所存入的教育儲蓄金數目a1,a2,…是一個公差為d的等差數列,與此同時,政府給予優(yōu)惠的計息政策,不僅采用固定利率,而且計算復利,也不征利息稅.這就是說,如果固定年利率為p(p>0),那么,在第n年末,第一年所存入的儲蓄金就變?yōu)閍1(1+p)n-1,第二年所存入的儲蓄金就變?yōu)閍2(1+p)n-2,…,以Wn表示到第n年末所累計的儲蓄金總額.
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