Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足，（4ⁿ-1）a_n=3×4^n-1S_n，n∈N^*，設(shè)，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．
（I）求S_n；
（II）求的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）當(dāng)n≥2時(shí)，利用a_n=S_n-S_n-1，可得3•4^n-1S_n=（4ⁿ-1）（S_n-S_n-1），從而可得是公比為1的等比數(shù)列，進(jìn)而可求
S_n；
（II）將代入3•4^n-1S_n=（4ⁿ-1）a_n，可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，利用設(shè)，進(jìn)而可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，由此利用錯(cuò)位相減法可求T_n，最后可求極限．
解答：解：（I）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，3•4^n-1S_n=（4ⁿ-1）（S_n-S_n-1）
∴（4^n-1-1）S_n=（4ⁿ-1）S_n-1
∴，…（2分）
∴是公比為1的等比數(shù)列，
∴
∴．…（5分）
（II）將代入3•4^n-1S_n=（4ⁿ-1）a_n，
得．…（7分）
，
．
∴
∴．…（10分）
∴．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列遞推式為載體，考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和，考查構(gòu)造法證明等比數(shù)列，同時(shí)考查錯(cuò)位相減法，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用數(shù)列遞推式．