如圖，在平面直角坐標系中，、分別是橢圓的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于、兩點，其中在第一象限．過作軸的垂線，垂足為．連接，并延長交橢圓于點．設直線的斜率為．

（Ⅰ）當直線平分線段時，求的值；
（Ⅱ）當時，求點到直線的距離；
（Ⅲ）對任意，求證：．
（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）詳見解析

試題分析：（Ⅰ）求出點、的中點坐標，再用斜率公式可求得的值；（Ⅱ）求出直線的方程，再用點到直線的距離公式可求得點到直線的距離；
（Ⅲ）思路一:圓錐曲線題型的一個基本處理方法是設而不求,其核心是利用 ----(*).要證明,只需證明它們的斜率之積為-1. 但直接求它們的積,不好用(*)式,此時需要考慮轉化.
思路二:設,然后用表示出的坐標.這種方法要注意直線的方程應設為: ,若用點斜式,則運算量大為增加.
此類題極易在運算上出錯,需倍加小心.
試題解析：（Ⅰ）由題設知: ,所以線段的中點為,
由于直線平分線段,故直線過線段的中點,又直線過坐標原點,
所以
（Ⅱ）將直線的方程代入橢圓方程得: ,因此
于是,由此得直線的方程為:
所以點到直線即的距離
（Ⅲ）法一:設,則
由題意得:
設直線的斜率分別為,因為在直線上,所以
從而,所以:

法二:
所以直線的方程為:  代入橢圓方程得:

由韋達定理得:
所以
,所以
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知點，，為動點，且直線與直線的斜率之積為.
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）設過點的直線與曲線相交于不同的兩點，.若點在軸上，且，求點的縱坐標的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）若在處取得極值，求的值；
（2）求的單調(diào)區(qū)間；
（3）若且，函數(shù)，若對于，總存在使得，求實數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在點P，使得當l繞F轉到某一位置時，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知、分別是橢圓: 的左、右焦點，點在直線上，線段的垂直平分線經(jīng)過點．直線與橢圓交于不同的兩點、，且橢圓上存在點，使，其中是坐標原點，是實數(shù)．
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）當取何值時，的面積最大？最大面積等于多少？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則動圓的圓心在（   ）
A．一個橢圓上B．一條拋物線上C．雙曲線的一支上D．一個圓上

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

在平面直角坐標系中，已知點是橢圓上的一個動點，點在線段的延長線上，且，則點橫坐標的最大值為         .

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，是橢圓在第一象限上的動點，是橢圓的焦點，是的平分線上的一點，且，則的取值范圍是         .

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設橢圓的左焦點為F, 離心率為, 過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.
(Ⅰ) 求橢圓的方程;
(Ⅱ) 設A, B分別為橢圓的左右頂點, 過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C, D兩點. 若, 求k的值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案