Question

【題目】如圖，已知定圓，定直線(xiàn)過(guò)的一條動(dòng)直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于，與圓相交于兩點(diǎn)，是中點(diǎn)．

（1）當(dāng)與垂直時(shí)，求證：過(guò)圓心；

（2）當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)的方程；

（3）設(shè)，試問(wèn)是否為定值，若為定值，請(qǐng)求出的值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）或 （3）存在，是定值5

【解析】

（1）根據(jù)與垂直寫(xiě)出直線(xiàn)的方程；將圓心代入方程易知過(guò)圓心；

（2）過(guò)的一條動(dòng)直線(xiàn)，應(yīng)當(dāng)分為斜率存在和不存在兩種情況；當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)，進(jìn)行驗(yàn)證，當(dāng)直線(xiàn)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，由于弦長(zhǎng)，利用垂徑定理，則圓心到弦的距離，從而解得斜率來(lái)得出直線(xiàn)的方程；

（3）當(dāng)與軸垂直時(shí)，要對(duì)設(shè)，進(jìn)行驗(yàn)證；當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入圓的方程得到一個(gè)二次方程，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求的坐標(biāo)，再用兩根直線(xiàn)方程聯(lián)立，求的坐標(biāo)，由圖可知，再討論是否為定值．

解：（1）由題意可知直線(xiàn)的斜率，由與垂直得直線(xiàn)的斜率，

所以直線(xiàn)的方程為．

將圓心代入方程易知過(guò)圓心；

（2）由于，是中點(diǎn)，由垂徑定理得，

①當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)，易知，圓心到直線(xiàn)的距離為1，符合題意；

②當(dāng)直線(xiàn)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，即，

，解得，直線(xiàn)的方程為，即；

綜上：直線(xiàn)的方程為或；

（3）①當(dāng)與軸垂直時(shí)，易得，，又，

則，，此時(shí)；

②當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，

代入圓的方程化簡(jiǎn)得，

設(shè)，，，

則，，

即，，

又由得，

則，

由圖可知，

；

綜上：為定值5．