Question

【題目】已知雙曲線（b＞a＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率，點(diǎn)在雙曲線上.

（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，且.求|OP|2+|OQ|2的最小值.

Answer 1

【答案】1 ；2.

【解析】試題分析：

(Ⅰ) 由，可得，故雙曲線方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)可得，由此可得雙曲線方程． (Ⅱ)根據(jù)直線的斜率存在與否分兩種情況求解．當(dāng)斜率存在時(shí)，可根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及兩點(diǎn)間的距離公式求解即可．當(dāng)斜率不存在時(shí)直接計(jì)算可得結(jié)果．

試題解析：

（1）由，可得，

∴，

∴ 雙曲線方程為，

∵ 點(diǎn)在雙曲線上，

∴，

解得 ，

∴ 雙曲線的方程為．

（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

由消去y整理得，

∵直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，

∴．

設(shè)，，

則，

由得到：，

即，

∴，

化簡(jiǎn)得．

∴，

當(dāng)時(shí)上式取等號(hào)，且方程（*）有解．

②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則有，

由可得，

可得，解得.

∴．

∴ ．

綜上可得的最小值是24．