Question

設(shè)點P是曲線y=x²上的一個動點，曲線y=x²在點P處的切線為l，過點P且與直線l垂直的直線與曲線y=x²的另一交點為Q，則PQ的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出P點坐標，求導(dǎo)得直線l的斜率，則過點P且與直線l垂直的直線方程可求，和拋物線聯(lián)立后求出Q點的坐標，利用兩點式寫出PQ的距離，先利用換元法降冪，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值．
解答：解：設(shè)，由y=x²得，
所以過點P且與直線l垂直的直線方程為．
聯(lián)立y=x²得：．
設(shè)Q（x₁，y₁），則，所以，
．
所以|PQ|=
=
=
．
令t=．
g（t）=．
則，
當t∈（0，2）時，g^′（t）＜0，g（t）為減函數(shù)，
當t∈（2，+∞）時，g^′（t）＞0，g（t）為增函數(shù)，
所以．
所以PQ的最小值為．
故答案為．
點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上某點的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，解答此題的關(guān)鍵是把高次冪的函數(shù)式通過換元降冪，是中檔題．