Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N分別是CC₁、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線A₁B₁上，且滿足．
（1）證明：PN⊥AM；
（2）若平面PMN與平面ABC所成的角為45°，試確定點(diǎn)P的位置．

Answer 1

【答案】分析：（1）以AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)，易判斷 =0，即PN⊥AM；
（2）平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，則平面PMN與平面ABC法向量的夾角為45°，代入向量夾角公式，可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于λ的方程，解方程即可求出對(duì)應(yīng)λ值，進(jìn)而確定出滿足條件的點(diǎn)P的位置．
解答：解：（1）證明：如圖，以AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
則P（λ，0，1），N（，，0），M（0，1，），
從而=（-λ，，-1），=（0，1，），=（-λ）×0+×1-1×=0，所以PN⊥AM．
（2）平面ABC的一個(gè)法向量為 ==（0，0，1）．
設(shè)平面PMN的一個(gè)法向量為 =（x，y，z），
由（1）得 =（λ，-1，）．
由
解得
∵平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，
∴|cos＜，＞|=||==，
解得λ=-．（11分）
故點(diǎn)P在B₁A₁的延長(zhǎng)線上，且|A₁P|=．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量評(píng)議表述線線的垂直、平等關(guān)系，用空間向量求直線與平面的夾角，用空間向量求平面間的夾角，其中熟練掌握向量夾角公式是解答此類問題的關(guān)鍵．