Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為1，且焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；    （Ⅱ）過點(diǎn)Q（-1，0）的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，交直線x=-4于點(diǎn)E，且

AQ

=λ

QB

，

AE

=μ

EB

．求證：λ+μ為定值，并計(jì)算出該定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件得

2b2 a =1 2b=a

?

a=2 b=1

，從而寫出橢圓的方程即可；
（Ⅱ）易知直線l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x₁y₁），B（x₂，y₂），E（-4，y₀），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量的坐標(biāo)公式即可求得λ+μ值，從而解決問題．

解答：解：（Ⅰ）由條件得

2b2 a =1 2b=a

?

a=2 b=1

，所以方程為

x2

4

+y2=1
（Ⅱ）易知直線l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x₁y₁），B（x₂，y₂），E（-4，y₀）
由

y=k(x+1) x2 4 +y2=1

?(1+4k2)x2+8k2x+4k2-4=0
△=48k²+16＞0
x1+x2=-

8k2

1+4k2

，x1x2=

4k2-4

1+4k2

由

AQ

=λ

QB

?(-1-x1，-y1)=λ(x2+1，y2)即

-(x1+1)=λ(x2+1)(1) y1=-λy2

AE

=μ

EB

?(-4-x1，y0-y1)=μ(x2+4，y2-y0)即

-(x1+4)=μ(x2+4)(2) y0-y1=μ(y2-y0)

由（1）λ=

x1+1

x2+1

，由（2）μ=

x1+4

x2+4

∴λ+μ=-

(x1+1)(x2+4)+(x1+4)(x2+1)

(x2+1)(x2+4)

=-

2x1x2+5(x1+x2)+8

(x2+1)(x2+4)

將x1+x2=-

8k2

1+4k2

，x1x2=

4k2-4

1+4k2

代入有∴λ+μ=-

8k2-8 1+4k2 - 40k2 1+4k2 +8

(x2+1)(x2+4)

=-

8k2-8-40k2+8+32k2 1+4k2

(x2+1)(x2+4)

=0

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、向量在幾何中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．