Question

已知圓o：x²+y²=b²與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)A（0，1），F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，直線AF被圓所截得的弦長(zhǎng)為1．
（1）求橢圓方程．
（2）圓o與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為C、D，B（ x，y）是橢圓上異于點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在線段CD上是否存在點(diǎn)T（t，0），使|BT|=|AT|，若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得b=1，設(shè)F（-c，0），則直線AF：x-cy+c=0，由直線AF被圓所截的弦長(zhǎng)為1等于圓半徑可得圓心O（0，0）到直線AF的距離d=，從而可求c，進(jìn)而可求a，從而可求橢圓方程
（2）解法一：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)T（t，0），使得|AT|=|BT|，則點(diǎn)T必定在線段AB的中垂線上，設(shè)點(diǎn)B（x_B，y_B），
①直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB：y=kx+1（k≠0），由，，
則可得AB的中點(diǎn)M，然后由由MT⊥AB可得t（1+4k²）+3k=0，即，利用基本不等式可求
②若直線AB的斜率不存在時(shí)，線段CD上任意一點(diǎn)都使得AT=BT對(duì)橢圓上任意的不同于A的B都成立
（2）解法二：設(shè)點(diǎn)B（x，y），由|AT|=|BT|知，整理得y²+x²-2tx-1=0，結(jié)合，可得，x∈[-2，0）∪（0，2]，可求t的范圍，又圓O：x²+y²=1，可得-1≤x_C＜x_D≤1，從而可求
解答：解：（1）由已知可得b=1，設(shè)F（-c，0），則直線AF：x-cy+c=0
∵直線AF被圓所截的弦長(zhǎng)為1等于圓的半徑
∴圓心O（0，0）到直線AF的距離d=
解得，則a=2∴橢圓方程為
（2）解法一：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)T（t，0），使得|AT|=|BT|，則點(diǎn)T必定在線段AB的中垂線上…（8分）
設(shè)點(diǎn)B（x_B，y_B），
①直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB：y=kx+1（k≠0）
由，∴，
則AB的中點(diǎn)…（7分）
由MT⊥AB可知即t（1+4k²）+3k=0
∴且t≠0…（9分）
∴且t≠0
②若直線AB的斜率不存在時(shí)，線段CD上任意一點(diǎn)都使得AT=BT對(duì)橢圓上任意的不同于A的B都成立（11分）
又圓O：x²+y²=1，-1≤x_c＜x_D≤1
綜上可得線段CD上存在點(diǎn)T，使得AT=BT（12分）
（2）解法二：設(shè)點(diǎn)B（x，y），由|AT|=|BT|知
即t²+1=（x-t）²+y²，整理得y²+x²-2tx-1=0…（7分）
又∵，∴
當(dāng)x=0時(shí)，t∈R；
當(dāng)x≠0時(shí)，
又∵x∈[-2，0）∪（0，2]，∴…（10分）
又圓O：∴x²+y²=1，∴-1≤x_C＜x_D≤1
綜上可知在線段CD上存在點(diǎn)T，使得|AT|=|BT|…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用圓與橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的思想的應(yīng)用，要求考試具備較強(qiáng)的邏輯推理與運(yùn)算的能力．