Question

三棱錐S-ABC中，側(cè)棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，M為三角形ABC的重心，D為AB的中點，作與SC平行的直線DP．
證明：
（1）DP與SM相交；
（2）設(shè)DP與SM的交點為D′，則D′為三棱錐S-ABC的外接球球心．

Answer 1

【答案】分析：（1）由DP∥SC，可得DP、SC共面，于是DC在此平面內(nèi)，所以點M在此平面內(nèi)．再由SM與SC相交，則SM必與DP相交．
（2）由已知側(cè)棱SA、SB、SC兩兩互相垂直及SC∥DD^′，可證得直角梯形SCD^′D，若取SC的中點Q，再由DD^′∥SC及MC=2DM，得SC=2DD^′及矩形SQDD^′，于是可得SD^′=CD^′．同理可得D^′A=D^′B=D^′S，于是證得結(jié)論．
解答： 證明：（1）∵DP∥SC，故DP、CS共面．
∴DC?面DPC，
∵M∈DC，∴M∈面DPC，∴SM?面DPC．
∵在面DPC內(nèi)SM與SC相交，故直線SM與DP相交．
（2）∵SA、SB、SC兩兩互相垂直，∴SC⊥面SAB，∴SC⊥SD．
∵DP∥SC，∴DP⊥SD，△DD′M∽△CSM．
∵M為△ABC的重心，∴DM：MC=1：2．∴DD^′：SC=1：2．
取SC中點Q，連D^′Q．則SQ=DD′，
∴，SC⊥SD，
∴平面四邊形DD′QS是矩形．
∴D′Q⊥SC，又SQ=QC，知D^′C=D^′S．
同理，D^′A=D^′B=D^′C=D^′S．
即以D′為球心D′S為半徑作球D′，則A、B、C均在此球上．
 即D′為三棱錐S-ABC的外接球球心．
點評：本題綜合考查了線線共面、線面垂直、線線平行的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、矩形及點共球等，深刻理解以上判定及性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．