Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}（x≥0）}\\{lo{g}_{3}（-x）（x＜0）}\end{array}\right.$，函數(shù)g（x）=f²（x）+f（x）+t（t∈R），若g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-2，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的解析式，畫出其圖象，令m=f（x），
當(dāng)m≥1時(shí)，方程m=f（x）有兩解，即每個(gè)m對(duì)應(yīng)兩個(gè)x，
當(dāng)m＜1時(shí)，方程m=f（x）只有一解，即每個(gè)m只對(duì)應(yīng)一個(gè)x，
再結(jié)合圖形得出范圍．

解答 解：根據(jù)f（x）的解析式，畫出其圖象，如右圖：
令m=f（x），由圖可知，
當(dāng)m≥1時(shí)，方程m=f（x）有兩解，即每個(gè)m對(duì)應(yīng)兩個(gè)x，
當(dāng)m＜1時(shí)，方程m=f（x）有一解，即每個(gè)m對(duì)應(yīng)一個(gè)x，
令g（x）=）=f²（x）+f（x）+t=得，m²+m+t=0---①，
（1）若關(guān)于m的一元二次方程①有兩個(gè)相等的實(shí)根，
則△=0，解得t=$\frac{1}{4}$，m=-$\frac{1}{2}$，此時(shí)f（x）=m=-$\frac{1}{2}$有一解，
即g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，舍去；
（2）若關(guān)于m的一元二次方程①有兩個(gè)相異的實(shí)根，
則△＞0，解得t＜$\frac{1}{4}$，設(shè)方程①的兩根為m₁，m₂，不妨設(shè)m₁＞m₂，
要使g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則m₁＜1，m₂＜1，
又m₁+m₂=-1，所以，m₁∈（-$\frac{1}{2}$，1），m₂∈（-2，-$\frac{1}{2}$），即m∈（-2，1），
所以，t=-m²-m=-（m+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$∈（-2，$\frac{1}{4}$），
故填：（-2，$\frac{1}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定，復(fù)合函數(shù)性質(zhì)的分析，以及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，屬于中檔題．