Question

11．若直線l與橢圓$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1相交于A、B兩點(diǎn)，滿足$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，且直線1與圓x²+y²=r²相切．
（1）求圓的方程；
（2）求弦長|AB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）以O(shè)為極點(diǎn)，x軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，即有x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，將橢圓方程化為極坐標(biāo)方程，設(shè)出設(shè)A（ρ₁，θ），B（ρ₂，$\frac{π}{2}$+θ），運(yùn)用勾股定理求得AB的長，由面積公式可得O到直線AB的距離，即為圓的半徑，即可得到所求圓的方程；
（2）化簡弦長AB，注意運(yùn)用同角的平方關(guān)系和二倍角公式，借助正弦函數(shù)的值域，即可得到最值，進(jìn)而得到范圍．

解答 解：（1）以O(shè)為極點(diǎn)，x軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，
即有x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
則橢圓方程為4ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12，
即有ρ²=$\frac{12}{4co{s}^{2}θ+3si{n}^{2}θ}$=$\frac{12}{3+co{s}^{2}θ}$，
設(shè)A（ρ₁，θ），B（ρ₂，$\frac{π}{2}$+θ），
則ρ₁²=$\frac{12}{3+co{s}^{2}θ}$，ρ₂²=$\frac{12}{3+co{s}^{2}（\frac{π}{2}+θ）}$=$\frac{12}{3+si{n}^{2}θ}$，
由直角三角形OAB，可得OA²+OB²=AB²，
即有AB²=ρ₁²+ρ₂²=$\frac{84}{（3+si{n}^{2}θ）（3+co{s}^{2}θ）}$，
點(diǎn)O到直線AB的距離滿足d²=$\frac{{{ρ}_{1}}^{2}{{ρ}_{2}}^{2}}{A{B}^{2}}$=$\frac{12}{7}$，
直線1與圓x²+y²=r²相切，可得r²=d²=$\frac{12}{7}$，
即有圓的方程為x²+y²=$\frac{12}{7}$；
（2）AB²=$\frac{84}{（3+si{n}^{2}θ）（3+co{s}^{2}θ）}$=$\frac{84}{12+si{n}^{2}θco{s}^{2}θ}$
=$\frac{84}{12+\frac{1}{4}si{n}^{2}2θ}$，由0≤sin²2θ≤1，可得AB²∈[$\frac{48}{7}$，7]．
即有弦長|AB|的取值范圍是[$\frac{4\sqrt{21}}{7}$，$\sqrt{7}$]．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的運(yùn)用，注意化為極坐標(biāo)方程，考查直線和圓相切的條件，化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．