Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面為直角梯形，∠BAD=90°，BC∥AD且AD=2，AB=BC=1，PA=λ（λ＞0）．
（Ⅰ）設(shè)M為PD的中點(diǎn)，求證：CM∥平面PAB；
（Ⅱ）若二面角B-PC-D的大小為150°，求此四棱錐的體積．

Answer 1

【答案】分析：解法一；（Ⅰ）M為PD的中點(diǎn)，要證CM∥平面PAB，取PA的中點(diǎn)N，只需證明直線CM平行平面PAB內(nèi)的直線BN即可；
（Ⅱ）根據(jù)二面角B-PC-D的大小為150°，求出二面角的平面角，從而求得該四棱錐的高，代入體積公式即可求得結(jié)果；
解法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，（Ⅰ）求出平面平面PAB的一個法向量，利用，即可證得結(jié)論；
（Ⅱ）根據(jù)二面角B-PC-D的大小為150°，求出PA=λ，代入代入體積公式即可求得結(jié)果．
解答：解法一：（Ⅰ）證明：取PA的中點(diǎn)N，連接BN、NM，
在△PAD中，MN∥AD，且；
又BC∥AD，且，
所以MNBC，即四邊形BCMN為平行四邊形，CM∥BN．
又CM?平面PAB，BN?平面PAB，故CM∥平面PAB．…（5分）
（Ⅱ）如圖，連接AC，則二面角B-PC-D的大小等于二面角B-PC-A的大小與二面角D-PC-A的大小的和．
由，知DC⊥AC，又DC⊥PA，所以DC⊥平面PAC，即平面PDC⊥平面PAC，
所以二面角D-PC-A的大小為90°．
于是二面角B-PC-A的大小為60°，
過B作BE⊥AC于E，過E作EF⊥PC于F，連接BF，
由PA⊥面ABC，BE?面ABC，∴PA⊥BE．
又BE⊥AC，AC∩AP=A，∴BE⊥面PAC．
又PC?面PAC，∴BE⊥PC．
∵EF⊥PC，EF∩BE=E，∴PC⊥面BEF，
∵BF?面BEF，∴BF⊥PC
即∠EFB為二面角B-PC-A的平面角．…（9分）
在Rt△ABC中，，又易知△PBC為Rt△，且，
∴，解得λ=1．…（11分）
所以四棱錐P-ABCD的體積為．…（12分）
解法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，λ）．…（2分）
（I）由M為PD中點(diǎn)知M的坐標(biāo)為（0，1，），所以．
又平面PAB的法向量可取為，而，即．
又CM?平面PAB，所以CM∥平面PAB．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)平面PBC的法向量為．
∵，
∴
不妨取z₁=1，則x₁=λ，y₁=0，∴．
又設(shè)平面PCD的法向量為．
∵，∴
不妨取z₂=-2，則y₂=-λ，x₂=-λ，∴．…（9分）
由的方向可知，解得λ=1．   …（11分）
所以四棱錐P-ABCD-體積為．                  …（12分）
點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的判定，和棱錐體積的求法，考查空間想象能力邏輯思維能力，是中檔題．