如圖1,矩形ABCD中,AB=12,AD=6,E、F分別為CD、AB邊上的點(diǎn),且DE=3,BF=4,將△BCE沿BE折起至△PBE位置(如圖2所示),連結(jié)AP、EF、PF,其中PF=2
5

(Ⅰ)求證:PF⊥平面ABED;
(Ⅱ)求直線AP與平面PEF所成角的正弦值.
考點(diǎn):直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(Ⅰ)證明PF⊥BF,PF⊥EF,利用仔細(xì)與平面垂直的判定定理證明PF⊥平面ABED.
(Ⅱ)方法一:以D為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,求出A,P,E,F(xiàn),求出平面PEF的法向量,直線AP的向量,利用向量的數(shù)量積求解直線AP與平面PEF所成角的正弦值.
方法二:過點(diǎn)A作AH⊥EF于H,說明∠APH為直線AP與平面PEF所成的角,通過解Rt△APH,求出直線AP與平面PEF所成角的正弦值.
解答: 解:(Ⅰ)由翻折不變性可知,PB=BC=6,PE=CE=9,
在△PBF中,PF2+BF2=20+16=36=PB2,所以PF⊥BF…(2分)
在圖1中,易得EF=
62+(12-3-4)2
=
61
,…(3分)
在△PEF中,EF2+PF2=61+20=81=PE2,所以PF⊥EF…(4分)
又BF∩EF=F,BF?平面ABED,EF?平面ABED,所以PF⊥平面ABED…(6分)

(Ⅱ)方法一:以D為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖所示,
則A(6,0,0),P(6,8,2
5
)
,E(0,3,0),F(xiàn)(6,8,0),
所以
AP
=(0,8,2
5
)
,
FP
=(0,0,2
5
)
EF
=(6,5,0)
,…(8分)
設(shè)平面PEF的法向量為
n
=(x,y,z),則
n
FP
=0
n
EF
=0
,即
2
5
•z=0
6x+5y=0
,解得
x=-
5
6
y
z=0

令y=-6,得
n
=(5,-6,0),…(12分)
設(shè)直線AP與平面PEF所成角為θ,則sinθ=
|
AP
n
|
|
AP
||
n
|
=
48
84
×
61
=
8
1281
427

所以直線AP與平面PEF所成角的正弦值為
8
1281
427
.…(14分)
方法二:過點(diǎn)A作AH⊥EF于H,由(Ⅰ)知PF⊥平面ABED,而AH?平面ABED,
所以PF⊥AH,又EF∩PF=F,EF?平面PEF,PF?平面PEF,
所以AH⊥平面PEF,所以∠APH為直線AP與平面PEF所成的角.…(9分)
在Rt△APF中,AP=
AF2+PF2
=
64+20
=2
21
…(11分)
在△AEF中,由等面積公式得AH=
AF•AD
EF
=
48
61
…(13分)
在Rt△APH中,sin∠APH=
AH
AP
=
16
61
×
3
2
21
=
8
1281
427

所以直線AP與平面PEF所成角的正弦值為
8
1281
427
.…(14分)
點(diǎn)評:本題考查仔細(xì)與平面所成角,直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用,考查空間想象能力以及計(jì)算能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a
b
,其中
a
=(
3
2
sinx,-1),
b
=(2cosx,cos2x+
1
2
).
(Ⅰ)若x∈[
24
,
4
],求函數(shù)f(x)的最大值和最小值,并定出相應(yīng)x的值.
(Ⅱ)△ABC的內(nèi)角為A,B,C,設(shè)對邊分別為a,b,c,滿足c=
3
,f(C)=0且sinB=2sinA,求a,b的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正數(shù)x,y滿足2(x2+y2)-2(x+y)-1=0,則x+y的最大值是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若雙曲線
x2
9
-
y2
16
=1上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離是7,則該點(diǎn)到雙曲線右準(zhǔn)線的距離是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一束光線從點(diǎn)P(0,1)出發(fā),射到x軸上一點(diǎn)A,經(jīng)x軸反射,反射光線過點(diǎn)Q(2,3),求點(diǎn)A的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

求關(guān)于x不等式|x-2|-|x+1|≤3的解集.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

過點(diǎn)(2,-2)與雙曲線x2-2y2=2有公共漸近線的雙曲線方程為(  )
A、
x2
2
-
y2
4
=1
B、
x2
4
-
y2
2
=1
C、
y2
4
-
x2
2
=1
D、
y2
2
-
x2
4
=1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓C:(x-2)2+(y-2)2=1,直線l過定點(diǎn)A(1,0)
(1)若直線l平分圓的周長,求直線l的方程;
(2)若直線l與圓相切,求直線l的方程;
(3)若直線l與圓C交于PQ兩點(diǎn),求△CPQ面積的最大值,并求此時(shí)的直線方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)F1、F2分別為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),雙曲線上存在一點(diǎn)P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,則該雙曲線的離心率為
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案