Question

已知函數(shù)f（x）=

a

•

b

，其中

a

=（

3

2

sinx，-1），

b

=（2cosx，cos²x+

1

2

）．
（Ⅰ）若x∈[

5π

24

，

3π

4

]，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值，并定出相應(yīng)x的值．
（Ⅱ）△ABC的內(nèi)角為A，B，C，設(shè)對(duì)邊分別為a，b，c，滿(mǎn)足c=

3

，f（C）=0且sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理,余弦定理

專(zhuān)題：解三角形

分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積以及兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，通過(guò)x∈[

5π

24

，

3π

4

]，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值，并定出相應(yīng)x的值．
（Ⅱ）△ABC的內(nèi)角為A，B，C，設(shè)對(duì)邊分別為a，b，c，滿(mǎn)足c=

3

，f（C）=0且sinB=2sinA，求a，b的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=

a

•

b

，其中

a

=（

3

2

sinx，-1），

b

=（2cosx，cos²x+

1

2

）．
∴f（x）=

a

•

b

=

3

sinxcosx-cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1；
x∈[

5π

24

，

3π

4

]，
∴2x-

π

6

∈[

π

4

，

4π

3

]，
sin（2x-

π

6

）∈[-

3

2

，1]；
∴sin（2x-

π

6

）-1∈[-1-

3

2

，0]，
2x-

π

6

=2kπ+

4π

3

時(shí)，函數(shù)球的最小值，此時(shí)x=kπ+

3π

4

．k∈Z．
2x-

π

6

=2kπ+

π

2

時(shí)，函數(shù)球的最大值，此時(shí)x=kπ+

π

3

．k∈Z．
（Ⅱ）由c=

3

，f（C）=0，可得sin（2C-

π

6

）=1，解得：C=

π

3

，且sinB=2sinA，
得：b=2a，c²=3=b²+a²-2bacosC，
3=4a2+a2-4a2×

1

2

，可得a=1，b=2，

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，余弦定理的應(yīng)用，考查奇數(shù)項(xiàng)的解法，考查計(jì)算能力．