Question

已知拋物線C：y=2x²，直線y=kx+2交C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過M作x軸的垂線交C于點(diǎn)N．
（1）寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；
（2）證明：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與直線AB平行；
（3）是否存在實(shí)數(shù)k使

NA

•

NB

=0，若存在，求k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；
（2）求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，可得切線方程，代入拋物線方程，利用線l與拋物線C相切，可得結(jié)論；
（3）假設(shè)存在，利用數(shù)量積公式及韋達(dá)定理計(jì)算即可得出結(jié)論．

解答：（1）解：將y=2x²化為x2=

1

2

y，則焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，

1

8

），準(zhǔn)線方程是y=-

1

8

…2分
（2）證明：如圖，設(shè)A（x1，2x12），B（x2，2x22），把y=kx+2代入y=2x²得2x²-kx-2=0，
由韋達(dá)定理得x1+x2=

k

2

，x₁x₂=-1，．…4分
∴xN=xM=

x1+x2

2

=

k

4

，∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為(

k

4

，

k2

8

)．
設(shè)拋物線在點(diǎn)N處的切線l的方程為y-

k2

8

=m(x-

k

4

)，．…5分
將y=2x²代入上式得2x2-mx+

mk

4

-

k2

8

=0，
∵直線l與拋物線C相切，∴△=m2-8(

mk

4

-

k2

8

)=0，∴m=k．
即l∥AB．．…8分
（3）解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使

NA

•

NB

=0，則NA⊥NB，
又∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴|MN|=

1

2

|AB|．．…9分
由（1）知yM=

1

2

(y1+y2)=

k2

4

+2．
∵M(jìn)N⊥x軸，∴|MN|=|y_M-y_N|=

k2+16

8

．．…11分
又|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1

2

k2+1

•

k2+16

．．…13分
∴

k2+16

8

=

1

4

k2+1

•

k2+16

，解得k=±2．
即存在k=±2，使

NA

•

NB

=0．．…14分

點(diǎn)評：本題考查拋物線方程與性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，屬于中檔題．