Question

已知拋物線C：y=x²，從原點(diǎn)O出發(fā)且斜率為k₀的直線l₀交拋物線C于一異于O點(diǎn)的點(diǎn)A₁（x₁，y₁），過A₁作一斜率為k₁的直線l₁交拋物線C于一異于A₁的點(diǎn)A₂（x₂，y₂）…，過A_n作斜率為k_n的直線l_n交拋物線C于一異于A_n的點(diǎn)A_n+1（x_n+1，y_n+1）且知k_n=k₀ⁿ⁺¹（k₀＞0且k₀≠1）．
（1）求x₁，x₂以及x_n與x_n+1之間的遞推關(guān)系式；
（2）求{x_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程寫出直線l₀的方程，與y=x²，聯(lián)立方程組，求解得出x₁，同樣地根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程寫出直線l₁的方程，與y=x²，聯(lián)立方程組，求解得出x₂，l_n方程與y=x²聯(lián)立得x_n與x_n+1之間的遞推關(guān)系式；
（2）由（1）應(yīng)得出x_n+1=k₀^n+1_-x_n，利用此遞推關(guān)系式求通項(xiàng)．

解答：解：（1）l₀方程為y=k_ox，與y=x²，聯(lián)立，解得x₁=k_o，
且A₁（k_o，k₀²），則l₁方程為y-k₀²=k₀²（x-k_o），與y=x²，聯(lián)立，解得x₂=k₀^2_-k_o，
l_n方程為y-x_n²=k₀ⁿ⁺¹（x-x_n），與y=x²聯(lián)立得，x^2_-k₀ⁿ⁺¹x-x_n²+k₀ⁿ⁺¹x_n=0，顯然x_n是方程的一個(gè)解，
由韋達(dá)定理解得x_n+1+x_n=k₀ⁿ⁺¹，
∴x_n+1=k₀^n+1_-x_n，此即為x_n與x_n+1之間的遞推關(guān)系式；
（2）由（1）x_n+1=k₀^n+1_-x_n，
得x_n=k₀^n_-x_n-1
=k₀^n_-（k₀^n-1_-x_n-2）
=k₀^n_-（k₀^n-1_-（k₀^n-2_-x_n-3））
=…=k₀^n_-k₀^n-1₊k₀^n-2-…-k₀^{2_+（-1）k+1}k_o，（n≥2）
又n=1時(shí)，也適合上式，
所以{x_n}的通項(xiàng)公式為x_n=k₀^n_-k₀^n-1₊k₀^n-2-…-k₀^{2_+（-1）k+1}k_o

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式求解，數(shù)形結(jié)合的思想，考查邏輯推理，運(yùn)算求解能力．