Question

下列三個(gè)不等式：
①2-x2+ax-

25

4

＞1；
②（a-3）x²+（a-2）x-1＞0；
③a＞x²+

1

x2

．
若其中至多有兩個(gè)不等式的解集為空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：分別考慮三個(gè)不等式的解集為空集，運(yùn)用二次不等式的解法和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，及基本不等式，求出a的范圍，再求它們的交集，最后再求補(bǔ)集即可得到．

解答： 解：對(duì)于①，2-x2+ax-

25

4

＞1即-x²+ax-

25

4

＞0，則x²-ax+

25

4

＜0，△=a²-25，
則不等式的解集為空集，由△≤0，解得-5≤a≤5；
對(duì)于②，當(dāng)a=3時(shí)，不等式的解集為{x|x＞1}，不為空集；當(dāng)a≠3時(shí)，
要使不等式（a-3）x²+（a-2）x-1＞0的解集為空集，
則a-3＜0，且（a-2）2+4（a-3）≤0，解得-2

2

≤a≤2

2

．
對(duì)于③，由于x²+

1

x2

≥2

x2• 1 x2

=2，當(dāng)且僅當(dāng)x²=1，即x=±1時(shí)取等號(hào)．
則有不等式a＞x²+

1

x2

的解集為空集時(shí)，則有a≤2．
因此當(dāng)三個(gè)不等式的解集空集時(shí)，有-2

2

≤a≤2．
則要使其中至多有兩個(gè)不等式的解集為空集，
實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a＜-2

2

或a＞2}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的解法，考查二次不等式和指數(shù)不等式，及基本不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．