Question

橢圓的離心率為，且過點(diǎn)直線與橢圓M交于A、C兩點(diǎn)，直線與橢圓M交于B、D兩點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形

（1）求橢圓M的方程；

（2）求證：平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于原點(diǎn)O；

（3）若平行四邊形ABCD為菱形，求菱形ABCD的面積的最小值

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）詳見解析；（3）最小值為

【解析】

試題分析：（1）依題意有，再加上，解此方程組即可得的值，從而得橢圓 的方程（2）由于四邊形ABCD是平行四邊形，所以ABCD的對(duì)角線AC和BD的中點(diǎn)重合

利用（1）所得橢圓方程，聯(lián)立方程組消去得：，顯然點(diǎn)A、C的橫坐標(biāo)是這個(gè)方程的兩個(gè)根，由此可得線段的中點(diǎn)為 同理可得線段的中點(diǎn)為，由于中點(diǎn)重合，所以，解得：或(舍)這說明和都過原點(diǎn)即相交于原點(diǎn)（3）由于對(duì)角線過原點(diǎn)且該四邊形為菱形，所以其面積為由方程組易得點(diǎn)A的坐標(biāo)（用表示），從而得（用表示）；同理可得（由于，故仍可用表示）這樣就可將表示為的函數(shù)，從而求得其最小值

試題解析：（1）依題意有，又因?yàn)?/span>，所以得

故橢圓的方程為 3分

（2）依題意，點(diǎn)滿足

所以是方程的兩個(gè)根

得

所以線段的中點(diǎn)為

同理，所以線段的中點(diǎn)為 5分

因?yàn)樗倪呅?/span>是平行四邊形，所以

解得，或(舍)

即平行四邊形的對(duì)角線和相交于原點(diǎn) 7分

（3）點(diǎn)滿足

所以是方程的兩個(gè)根，即

故

同理， 9分

又因?yàn)?/span>，所以，其中

從而菱形的面積為

，

整理得，其中 10分

故，當(dāng)或時(shí)，菱形的面積最小，該最小值為 12分

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系