已知橢圓的離心率為，且過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若過點C（-1，0）且斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點，試問在軸上是否存在點，使是與無關的常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

 

【答案】

（1）橢圓方程為。

（2）在x軸上存在點M（）， 使是與K無關的常數(shù).

【解析】

試題分析：（1）∵橢圓離心率為，

∴，∴.        1分

又橢圓過點（，1），代入橢圓方程，得.        2分

所以.                          4分

∴橢圓方程為，即.           5分

（2）在x軸上存在點M，使是與K無關的常數(shù).   6分

證明：假設在x軸上存在點M（m,0）,使是與k無關的常數(shù)，

∵直線L過點C（-1，0）且斜率為K,∴L方程為，

由 得.      7分

設，則      8分

∵

∴              9分

=

=

=

=                 10分

設常數(shù)為t，則.                11分

整理得對任意的k恒成立，

解得，                    12分

即在x軸上存在點M（）， 使是與K無關的常數(shù).       13分

考點：橢圓的標準方程及幾何性質，直線與橢圓的位置關系，平面向量的數(shù)量積。

點評：中檔題，曲線關系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。求橢圓標準方程時，主要運用了橢圓的幾何性質，建立了a,bac的方程組。（2）作為研究，應用韋達定理，建立了m的函數(shù)式，利用函數(shù)觀點，求得m的值，肯定存在性，使問題得解。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為e，兩焦點分別為F1、F2，拋物線C以F1為頂點、F2為焦點，點P為拋物線和橢圓的一個交點，若e|PF2|=|PF1|，則e的值為（　�。�
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
3
D、以上均不對

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為
1
2
，焦點是（-3，0），（3，0），則橢圓方程為（　�。�
A、
x2
36
+
y2
27
=1
B、
x2
36
-
y2
27
=1
C、
x2
27
+
y2
36
=1
D、
x2
27
-
y2
36
=1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在由圓O：x2+y2=1和橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）構成的“眼形”結構中，已知橢圓的離心率為
6
3
，直線l與圓O相切于點M，與橢圓C相交于兩點A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得
OA
•
OB
=
1
2
OM
2，若存在，求此時直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知橢圓的離心率為
2
2
，準線方程為x=±8，求這個橢圓的標準方程；
（2）假設你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30-7：30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7：00-8：00之間，請你求出父親在離開家前能得到報紙（稱為事件A）的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，A，B是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點，M是橢圓上異于A，B的任意一點，已知橢圓的離心率為e，右準線l的方程為x=m．
（1）若e=
1
2
，m=4，求橢圓C的方程；
（2）設直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰過原點，求e．

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