Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足以下兩個(gè)條件：
①不等式f（x）＜0的解集是（-2，0）
②函數(shù)f（x）在x∈[1，2]上的最小值是3
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若點(diǎn)（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)f（x）的圖象上，且a₁=99
（ⅰ）求證：數(shù)列{lg（1+a_n）}為等比數(shù)列
（ⅱ）令b_n=lg（1+a_n），是否存在正實(shí)數(shù)k，使不等式kn²b_n＞（n+1）b_n+1對(duì)于一切的n∈N^*恒成立？若存在，指出k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意，設(shè)f（x）=ax（x+2）（a＞0），確定函數(shù)的對(duì)稱軸，利用函數(shù)f（x）在x∈[1，2]上的最小值，即可求得函數(shù)解析式；
（Ⅱ）（ⅰ）利用點(diǎn)（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)f（x）的圖象上，化簡(jiǎn)可得lg（1+a_n+1）=2lg（1+a_n），即可證得數(shù)列{lg（1+a_n）}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；
（ⅱ）要使不等式kn²b_n＞（n+1）b_n+1對(duì)于一切的n∈N^*恒成立，則kn²-2n-2＞0對(duì)于一切的n∈N^*恒成立．利用n=1時(shí)，k-2-2＞0成立，可得k＞4，再驗(yàn)證kn²-2n-2＞0對(duì)于一切的n∈N^*恒成立即可．
解答：（Ⅰ）解：由題意，設(shè)f（x）=ax（x+2）（a＞0），∴函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=-1
∴函數(shù)f（x）在x∈[1，2]上的最小值是f（1）=3a=3
∴a=1
∴f（x）的解析式為f（x）=ax（x+2）；
（Ⅱ）（ⅰ）證明：∵點(diǎn)（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)f（x）的圖象上，
∴a_n+1=a_n²+2a_n，∴1+a_n+1=（1+a_n）²，
∴l(xiāng)g（1+a_n+1）=2lg（1+a_n）
∵a₁=99
∴l(xiāng)g（1+a₁）=2
∴數(shù)列{lg（1+a_n）}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；
（ⅱ）解：b_n=lg（1+a_n）=2ⁿ，要使不等式kn²b_n＞（n+1）b_n+1對(duì)于一切的n∈N^*恒成立，則kn²-2n-2＞0對(duì)于一切的n∈N^*恒成立．
n=1時(shí)，k-2-2＞0成立，即k＞4；
設(shè)g（n）=kn²-2n-2，當(dāng)k＞4時(shí)，由于對(duì)稱軸為n=＜1，且g（1）＞0，而函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)
∴kn²-2n-2＞0對(duì)于一切的n∈N^*恒成立
∴k＞4時(shí)，不等式kn²b_n＞（n+1）b_n+1對(duì)于一切的n∈N^*恒成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式，考查等比數(shù)列的證明，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．