Question

如圖所示，設(shè)拋物線y²=2px，（0＜p＜1）與圓（x-5）²+y²=9在x軸上方的交點(diǎn)為A、B，與圓（x-6）²+y²=27在x軸上方的交點(diǎn)為C、D，P為AB中點(diǎn)，Q為CD的中點(diǎn)．
（1）求|PQ|；     
（2）求△ABQ面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁）  B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），將y²=2px代入（x-5）²+y²=9，得x²+（2p-10）x+16=0，由韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可表示點(diǎn)P坐標(biāo)，同理可表示點(diǎn)Q坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式可求|PQ|．
（2）由三角形S△ABQ=

1

2

|PQ||y₁-y₂|

1

2

|

2px1

-

2px2

|=

2p

2

•

x1+x2-2 x1x2

，代入韋達(dá)定理可得p的式子，由基本不等式可求最大值；

解答： 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁）  B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），
將y²=2px代入（x-5）²+y²=9，得x²+（2p-10）x+16=0，
故x₁，x₂為x²+（2p-10）x+16=0的根，
則x3=

x1+x2

2

=5-p，
y3=

y1+y2

2

=

2p ( x1 + x2 )

2

=

2p • x1+x2+2 x1x2

2

=

9p-p2

，
類似地，設(shè)Cx₄，y₄），D（x₅，y₅），Q（x₆，y₆），
聯(lián)立y²=2px，（x-6）²+y²=27得x²+（2p-12）x+9=0，
解得x₆=6-p，y6=

9p-p2

，
|PQ|=

(x3-x6)2+(y3-y6)2

=1．
（2）由三角形S△ABQ=

1

2

|PQ||y₁-y₂|
=

1

2

|

2px1

-

2px2

|=

2p

2

•

x1+x2-2 x1x2

=

2p

2

•

2-2p

=

p(1-p)

≤

p+1-p

2

=

1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)p=

1

2

時(shí)取等號(hào)，
∴△ABQ面積的最大值是

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查拋物線的方程性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力及運(yùn)算求解能力．