Question

f（x）=（x-a）²lnx，a∈R．
（1）x=e是y=f（x）極值點(diǎn)，求a．
（2）求a范圍使得對任意x∈（0，3e]恒有f（x）≤4e²．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,綜合題,分類討論,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，令f′（e）=0，即可解得a；
（2）對x∈（0，3e]進(jìn)行分區(qū)間討論，求出f（x）=（x-a）²lnx的最大值，令最大值小于4e²，解不等式求出a的范圍．

解答： 解：（1）f（x）=（x-a）²lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2（x-a）lnx+（x-a）²•

1

x

，
由于x=e是y=f（x）的極值點(diǎn)，則f′（e）=0，即有2（e-a）+

(e-a)2

e

=0，
解得，a=e或3e，
經(jīng)檢驗(yàn)，a=e或a=3e符合題意，
所以a=e，或a=3e；
（2）①當(dāng)0＜x≤1時，對于任意的實(shí)數(shù)a，恒有f（x）≤0＜4e²成立，
②當(dāng)1＜x≤3e時，由題意，首先有f（3e）=（3e-a）²ln3e≤4e²，
解得3e-

2e

ln(3e)

≤a≤3e+

2e

ln(3e)

，
設(shè)f（x）=（x-a）²lnx，
則f′（x）=2（x-a）lnx+（x-a）²•

1

x

=（x-a）（2lnx+1-

a

x

），
令h（x）=2lnx+1-

a

x

，
則h（1）=1-a＜0，h（a）=2lna＞0且h（3e）=2ln3e+1-

a

3e

≥2ln3e+1-

3e+ 2e ln(3e)

3e

=2（ln3e-

1

3 ln(3e)

）＞0，
又h（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
∴函數(shù)h（x）在（0，+∞）內(nèi)有唯一零點(diǎn)，記此零點(diǎn)為x₀
則1＜x₀＜3e，1＜x₀＜a，
從而當(dāng)x∈（0，x₀）時，f′（x）＞0，
當(dāng)x∈（x₀，a）時，f′（x）＜0，
當(dāng)x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0，即f（x）在（0，x₀）內(nèi)是增函數(shù)，
在（x₀，a）內(nèi)是減函數(shù)，在（a，+∞）內(nèi)是增函數(shù)
∴要使得對任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e²成立，
只要有：

f(x0)=(x0-a)2lnx0≤4e2 f(3e)=(3e-a)2ln3e≤4e2

，
有h（x₀）=2lnx₀+1-

a

x0

=0，得a=2x₀lnx₀+x₀，
將它代入f（x₀）=（x₀-a）2lnx₀≤4e²得4x₀²ln³x₀≤4e²
又x₀＞1，注意到函數(shù)4x²ln³x在（1，+∞）上是增函數(shù)，故1＜x₀≤e，
再由a=2x₀lnx₀+x₀，及函數(shù)2xlnx+x在（1，+∞）上是增函數(shù)，可得1＜a≤3e，
由f（3e）=（3e-a）²ln3e≤4e²解得3e-

2e

ln3e

≤a≤3e+

2e

ln3e

，
∴得3e-

2e

ln3e

≤a≤3e，
綜上，a的取值范圍為3e-

2e

ln3e

≤a≤3e．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的極值的概念，導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，不等式等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力，分類討論等分析問題和解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出導(dǎo)數(shù)，利用二次求導(dǎo)和函數(shù)零點(diǎn)分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的符號，得到原函數(shù)的單調(diào)性，本題屬于難題．