Question

【題目】已知函數
（1）若f（x）在[1，e]上的最小值為 ，求a的值；
（2）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= + = 令f′（x）＜0得x＜﹣a，令f′（x）＞0，得x＞﹣a，

①﹣a≤1，即a≥﹣1時，f（x）在[1，e]上單增，f（x）最小值=f（1）=﹣a= ，a=﹣ ＜﹣1，不符，舍；

②﹣a≥e，即a≤﹣e時，f（x）在[1，e]上單減，f（x）最小值=f（e）=1﹣ = ，a=﹣ ＞﹣e，不符，舍；

③1＜﹣a＜e，即﹣e＜a＜﹣1時，f（x）在[1，﹣a]上單減，在[﹣a，e]上單增，f（x）最小值=f（﹣a）=ln（﹣a）+1= ，a=﹣ ，滿足；

綜上a=﹣ ．

（2）解：由題意，只需a＞xlnx﹣x3，x∈（1，+∞）恒成立，

令h（x）=xlnx﹣x3，h'（x）=lnx+1﹣3x2，h'（x）= ﹣6x= ＜0 在（1，+∞）上恒成立，

∴h'（x）在（1，+∞）上單減，又h'（1）=﹣2＜0，

∴h'（x）＜0 在（1，+∞）上恒成立，h（x）在（1，+∞）上單減，又h（1）=﹣1，

∴h（x）＜﹣1在（1，+∞）上恒成立，

∴a≥﹣1

【解析】（1）求導，令f′（x）=0得x=﹣a，以﹣a在[1，e]內，左，右分為三類來討論，函數在[1，e]上的單調性，進而求出最值，令其等于 ，求出a的值，由范圍來取舍，得了a的值．（2）將f（x）代入不等式，分離出a，寫在不等式的左邊，設右邊為函數h（x），求導，再求導，得出導數的正負，從而得出h'（x）的單調性，求最值，得出h'（x）的正負，得出h（x）的單調性，求出h（x）的最小值，得出a的取值范圍．
【考點精析】利用函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．