Question

某大型公益活動從一所名牌大學(xué)的四個學(xué)院中選出了18名學(xué)生作為志愿者，參加相關(guān)的活動事宜．學(xué)生來源人數(shù)如下表：

學(xué)院	外語學(xué)院	生命科學(xué)學(xué)院	化工學(xué)院	藝術(shù)學(xué)院
人數(shù)	4	6	3	5

（Ⅰ）若從這18名學(xué)生中隨機(jī)選出兩名，求兩名學(xué)生來自同一學(xué)院的概率；
（Ⅱ）現(xiàn)要從這18名學(xué)生中隨機(jī)選出兩名學(xué)生向觀眾宣講此次公益活動的主題．設(shè)其中來自外語學(xué)院的人數(shù)為ξ，令η=2ξ+1，求隨機(jī)變量η的分布列及數(shù)學(xué)期望E（η）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）利用互斥事件概率加法公式能求出兩名學(xué)生來自同一學(xué)院的概率．
（Ⅱ） ξ的可能取值是0，1，2，對應(yīng)的η可能的取值為1，3，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量η的分布列及數(shù)學(xué)期望E（η）．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）設(shè)“兩名學(xué)生來自同一學(xué)院”為事件A，
則P(A)=

C 2 4 + C 2 6 + C 2 3 + C 2 5

C 2 18

=

2

9

即兩名學(xué)生來自同一學(xué)院的概率為

2

9

．…（4分）
（Ⅱ） ξ的可能取值是0，1，2，對應(yīng)的η可能的取值為1，3，5，
P(η=1)=P(ξ=0)=

C 2 14

C 2 18

=

91

153

，
P(η=3)=P(ξ=1)=

C 1 4 C 1 14

C 2 18

=

56

153

，
P(η=5)=P(ξ=2)=

C 2 4

C 2 18

=

2

51

，…（10分）
所以η的分布列為

η	1	3	5
P	91 153	56 153	2 51

…（11分）
所以E(η)=1×

91

153

+3×

56

153

+5×

2

51

=

17

9

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時要認(rèn)真審題，是中檔題．