Question

如圖，在四面體AOCB中，∠AOB=∠AOC=∠BOC=90°，OA=a，OB=b，OC=c，直角頂點(diǎn)O在底面ABC上的射影是H，則下列命題正確的有

 

．（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）
①底面△ABC是銳角三角形；
②四面體AOCB的對(duì)棱互相垂直；
③四面體AOCB的外接球半徑R=

1

2

a2+b2+c2

；
④點(diǎn)H是△ABC的垂心；
⑤

2

OH2

=

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

．

Answer 1

考點(diǎn)：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：①由向量的數(shù)量積能求出底面△ABC是銳角三角形；②由題意利用線面垂直能求出OB⊥AC，OA⊥BC，OC⊥AB；③以點(diǎn)O為長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)，OA、OB、OC為長(zhǎng)方體的三棱作長(zhǎng)方體，則四面體OABC的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球；④由已知條件能推導(dǎo)出BC⊥AH，CH⊥AB，所以H是△ABC的垂心；⑤由已知條件推導(dǎo)出

1

OH2

=

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

．

解答： 解：①

AB

•

AC

=(

OB

-

OA

)•(

OC

-

OA

)=

OA

2=|

OA

|2＞0，
知A為銳角，同理B，C也是銳角，故①正確；
②由題意知OB⊥平面OAC，從而OB⊥AC，
同理可得：OA⊥BC，OC⊥AB，故②正確；
③以點(diǎn)O為長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)，OA、OB、OC為長(zhǎng)方體的三棱作長(zhǎng)方體，
則四面體OABC的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球，
且R=

1

2

a2+b2+c2

，故③正確．
④連結(jié)AH，并延長(zhǎng)交BC于D，連結(jié)OD，OH⊥平面ABC，
OA⊥BC，所以BC⊥AH，同理，CH⊥AB，
所以H是△ABC的垂心，故④正確．
⑤在直角△AOD中，AO•OD=OH•AD，AO²•OD²=OH²•（AO²+OD²），

1

OH2

=

1

OA2

+

1

OD2

，同理，在△BOC中，

1

OD2

=

1

OB2

+

1

OC2

，
所以

1

OH2

=

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

，故⑤錯(cuò)誤．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．