【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+ln(x+1).
(1)當a=﹣ 時,求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(3)當x∈[0,+∞)時,不等式f(x)﹣x≤0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:當 時, ,

解f′(x)>0得﹣1<x<1;

解f′(x)<0得x>1.

∴f(x)的單調遞增區(qū)間是(﹣1,1),單調遞減區(qū)間是(1,+∞)


(2)解:因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為減函數(shù),

x∈[1,+∞)恒成立

即a≤ x∈[1,+∞)恒成立

∴a≤﹣


(3)解:∵當x∈[0,+∞)時,不等式f(x)﹣x≤0恒成立,

即ax2+ln(x+1)﹣x≤0恒成立,

設g(x)=ax2+ln(x+1)﹣x(x≥0),

只需g(x)max≤0即可

①當a=0時, ,

當x>0時,g′(x)<0,函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調遞減,

∴g(x)≤g(0)=0成立

②當a>0時,令g′(x)=0,

∵x≥0,

∴解得

1)當 ,即 時,在區(qū)間(0,+∞)上g′(x)>0,

則函數(shù)g(x)在(0.+∞)上單調遞增,

∴g(x)在[0,+∞)上無最大值,不合題設.

2)當 時,即 時,在區(qū)間 上g′(x)<0;

在區(qū)間 上g′(x)>0.

∴函數(shù)g(x)在區(qū)間 上單調遞減,在區(qū)間 上單調遞增,

同樣g(x)在[0,+∞)無最大值,不滿足條件.

③當a<0時,由x≥0,故2ax+(2a﹣1)<0,

<0,

∴函數(shù)g(x)在[0,+∞)上單調遞減,

∴g(x)≤g(0)=0成立,

綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是(﹣∞,0]


【解析】(1)當 時,直接對f(x)求導,解不等式f′(x)>0和f′(x)<0,即可求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;(2)根據(jù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為減函數(shù)可確定a≤ ,又 最小值為 ,從而可確定a的取值范圍;(3)不等式f(x)﹣x≤0可化簡為ax2+ln(x+1)﹣x≤0,分情況討論,a=0,a<0和a>0時ax2+ln(x+1)﹣x≤0是否恒成立即可.

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