Question

已知P是正四面體S-ABC的面SBC上一點(diǎn)，P到面ABC的距離與到點(diǎn)S的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是（ ）
A．圓
B．橢圓
C．雙曲線
D．拋物線

Answer 1

【答案】分析：設(shè)正四面體S-ABC的棱長(zhǎng)為a，則AB=SB=a，由余弦定理知4a²=3a²+3a²-2×3a²•cos∠ABS，所以cos∠ABS=，sin，設(shè)SB=b，則O₁P=b，過(guò)P作PE⊥BC，垂足為E，連接O₁E，則O₁E⊥BC，
所以，由此能導(dǎo)出，由橢圓定義知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡所在的曲線是橢圓．
解答：解：設(shè)正四面體S-ABC的棱長(zhǎng)為a，則AB=SB=a，
∵AS²=AB²+SB²-2AB•SBcos∠ABS，
∴4a²=3a²+3a²-2×3a²•cos∠ABS，
∴cos∠ABS=，
∴sin，
設(shè)SB=b，則O₁P=b，
過(guò)P作PE⊥BC，垂足為E，
連接O₁E，則O₁E⊥BC，
∴，
在Rt△PO₁E中，
PE=，
∴，
由橢圓定義知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡所在的曲線是橢圓．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及立體幾何、余弦定理與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．