Question

已知圓C：x²+y²-4x-14y+45=0，及點(diǎn)Q（-2，3，），
（1）P（a，a+1）在圓上，求線段PQ的長及直線PQ的斜率；
（2）若M為圓C上任一點(diǎn)，求|MQ|的最大值和最小值；
（3）若實(shí)數(shù)m，n滿足m²+n²-4m-14n+45=0，求K=

n-3

m+2

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）將P的坐標(biāo)代入圓的方程求得a，則P的坐標(biāo)可得，進(jìn)而利用兩點(diǎn)間的距離公式求得PQ的長，利用P，Q的坐標(biāo)求得直線PQ的斜率．
（2）先把圓的方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，求得圓心的坐標(biāo)的半徑，進(jìn)而利用兩點(diǎn)間的距離公式求得QC的長，利用|QC|-R≤|MQ|≤|QC|+R求得MQ的范圍．
（3）K=

n-3

m+2

表示圓上點(diǎn)與Q（-2，3，）的斜率，把問題轉(zhuǎn)化為求得斜率的最值，先求得直線與圓斜切的時(shí)的k的值，利用圓心到直線的距離為半徑的方法求得相切時(shí)k的值，進(jìn)而推斷出斜率的范圍．

解答：解（1）將P（a，a+1）代入C：x²+y²-4x-14y+45=0，中得a=4
所以p（4，5），|PQ|=

(4+2)2+(5-3)2

=2

10

，kpQ=

5-3

4-(-2)

=

1

3

（2）將圓C：x²+y²-4x-14y+45=0，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式(x-2)2+(y-7)2=(2

2

)2
圓心C（2，7）|QC|-R≤|MQ|≤|QC|+R，因?yàn)?span id="9hrdjhj" class="MathJye">|QC|=4

2

，所以2

2

≤|MQ|≤6

2

所以|MQ|最小值為2

2

，最大值為6

2

（3）根據(jù)題意，實(shí)數(shù)m，n滿足m²+n²-4m-14n+45=0，即滿足(m-2)2+(n-7)2=(2

2

)2，
則（m，n）對應(yīng)的點(diǎn)在以（2，7）為圓心，半徑為2

2

的圓上，
分析可得K=

n-3

m+2

表示該圓上的任意一點(diǎn)與Q（-2，3，）相連所得直線的斜率，
設(shè)該直線斜率為k，則其方程為y-3=k（x+2），
又由d=

|2k-7+2k+3|

k2+1

=2

2

，
解得k=2±

3，

即2-

3

≤K≤2+

3

所以K=

n-3

m+2

的最小值：2-

3

和最大值：2+

3

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓的方程的綜合．考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)的思想，轉(zhuǎn)化和化歸的思想的運(yùn)用．