已知m，n為不相等的正常數(shù)，x，y∈（0，+∞），
（1）試判斷
m2
x
+
n2
y
與
(m+n)2
x+y
的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論
（2）利用（1）的結(jié)論，求函數(shù)f（x）=
5
x
+
9
1-5x
（x∈（0，
1
5
）
的最小值，并指出取得最小值時(shí)x的值．
考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,不等式比較大小,基本不等式
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用
分析：（Ⅰ）利用不等式（
m2
x
+
n2
y
）（x+y）=m2+n2+
m2y
x
+
n2x
y
≥m2+n22mn=（m+n）2，得證即
m2
x
+
n2
y
≥
(m+n)2
x+y
（
m
x
=
y
n
等號成立）
（Ⅱ）湊出條件：f（x）=
5
x
+
9
1-5x
=
25
5x
+
9
1-5x
≥
(5+3)2
1
=64，利用上題解論即可．
解答： 解：（Ⅰ）證明：因?yàn)閍，b是不相等的正常數(shù)，實(shí)數(shù)x，y∈（0，+∞），
所以應(yīng)用均值不等式，得：（
m2
x
+
n2
y
）（x+y）=m2+n2+
m2y
x
+
n2x
y
≥m2+n22mn=（m+n）2，
即
m2
x
+
n2
y
≥
(m+n)2
x+y
（
m
x
=
y
n
等號成立）
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）=
5
x
+
9
1-5x
（x∈（0，
1
5
）
∴f（x）=
5
x
+
9
1-5x
=
25
5x
+
9
1-5x
≥
(5+3)2
1
=64，x∈（0，
1
5
）
但且僅當(dāng)
5
5x
=
3
1-5x
，x=
1
8
，等號成立，
∴f（x）的最小值為64，此時(shí)x=
1
8
點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用基本不等式求解問題，難度較大，很有創(chuàng)新性，關(guān)鍵是確定條件，運(yùn)用結(jié)論．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知復(fù)數(shù)z=2+sinθ+
3
sinθ•i，則|
z
|的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-
1
2
，-
3
2
），
（1）求sinα和cosα的值，
（2）求
sin(α-π)+cos(α+
π
2
)
tan(π+α)
的值，
（3）判斷tan(α+
π
4
)的符號并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={1，3，4}，B={2，3}，則A∩B等于（　�。�
A、{2}
B、{1，4}
C、{3}
D、{1，2，3，4}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}中，a1=4，an+1=an2-nan+1
（1）求證：an≥n+2；
（2）求證：
1
1+a1
+
1
1+a2
+…+
1
1+a3
+…+
1
1+an
＜
2
5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

M、N是x2+y2=4上兩點(diǎn)，若點(diǎn)A（1，0）滿足MA⊥NA，求|MN|范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y=x2+2x+m與x軸交于P、Q兩點(diǎn)，以PQ為直徑作圓．
（1）求m的取值范圍；
（2）求圓的方程；
（3）若拋物線的頂點(diǎn)在圓的內(nèi)部，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知α是第三象限的角，那么
α
2
是（　　）象限的角．
A、第二B、第三
C、第二或第三D、第二或第四

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，并滿足f（x+2）=-
1
f(x)
，當(dāng)2≤x≤3時(shí)，f（x）=x，則f（-
11
2
）=
 
．

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