Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=4，a_n+1=a_n²-na_n+1
（1）求證：a_n≥n+2；
（2）求證：

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+a3

+…+

1

1+an

＜

2

5

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立．再假設(shè)a_k≥k+2，由此推導(dǎo)出a_k+1≥（k+1）+2，從而能證明a_n≥n+2．
（2）由已知得當(dāng)k≥2時(shí)，a_k=a_k-1（a_k-1-k+1）+1≥2a_k-1+1，于是

1

1+ak

≤

1

1+a1

•

1

2k-1

，k≥2，由此能證明

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+a3

+…+

1

1+an

＜

2

5

．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}中，a₁=4，a_n+1=a_n²-na_n+1，
∴①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=4≥1+2，不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)成立，即a_k≥k+2，
∴a_k+1=a_k²-ka_k+1=a_k（a_k-k）+1≥（k+2）（k+2-k）+1≥k+3，
即n=k+1時(shí)，a_k+1≥（k+1）+2，
∴由①②得a_n≥n+2．
∴a_n≥n+2．
（2）證明：∵a_n≥n+2，a_n+1=a_n²-na_n+1=a_n（a_n-n）+1，
∴當(dāng)k≥2時(shí)，a_k=a_k-1（a_k-1-k+1）+1≥a_k-1（k-1+2-k+1）+1=2a_k-1+1
…
∴ak≥2k-1a1+2k-2+…+2+1=2^k-1（a₁+1）-1，
于是

1

1+ak

≤

1

1+a1

•

1

2k-1

，k≥2，
∴

n

k=1

1

1+ak

≤

1

1+a1

+

1

1+a1

n

k=2

1

2k-1

=

1

1+a1

n

k=1

1

2k-1

≤

2

1+a1

=

2

5

，
∴

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+a3

+…+

1

1+an

＜

2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，解題時(shí)要注意數(shù)學(xué)歸納法、放縮法和累加法的合理運(yùn)用．