Question

如圖所示，作斜率為-

1

4

的直線l與拋物線D：2y²=x相交于不同的兩點(diǎn)B、C，點(diǎn)A（2，1）在直線l的右上方．
（1）求證：△ABC的內(nèi)心在直線x=2上；
（2）若∠BAC=90°，求△ABC內(nèi)切圓的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）只要證明k_AB+k_AC=0即可；
（2）利用三角形的面積計(jì)算公式和內(nèi)切圓的性質(zhì)即可得出．

解答： （1）證明：設(shè)BC直線為y=-

1

4

x+t，B(x1，y1)，C(x2，y2)，
由

y=- 1 4 x+t 2y2=x

得y²+2y-2t=0，
∴y₁+y₂=-2，y₁y₂=-2t．
∵KAB+KAC=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(2y1y2+2)(y1+y2)-8t+4

(x1-2)(x2-2)

=

(-4t+2)(-2)-8t+4

(x1-2)(x2-2)

=0，
∴∠BAC的平分線為x=2，即△ABC內(nèi)心在定直線x=2上．
（2）解：∵∠BAC=90°，由（1）知直線AB：y=x-1，直線AC：y=3-x，
由

y=x-1 2y2=x

解得B(

1

2

，-

1

2

)，
同理可得C(

9

2

，-

3

2

)∴|AB|=

3 2

2

，|AC|=

5 2

2

，|BC|=

17

．
∵SRt△ABC=

1

2

×|AB|×|AC|=

1

2

(|AB|+|AC|+|BC|)×r，
∴r=

|AB|×|AC|

|AB|+|AC|+|BC|

，
∴r=

3 2 2 × 5 2 2

3 2 2 + 5 2 2 + 17

=

4 2 - 17

2

．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的面積計(jì)算公式和內(nèi)切圓的性質(zhì)、三角形內(nèi)心的性質(zhì)，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．