Question

已知函數(shù)f（x）=2（sinx+cosx）cosx．
（1）求f（

5π

4

）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由π+α的誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值，即可得到；
（2）運(yùn)用二倍角公式和兩角和的正弦公式，化簡f（x），得到

2

sin（2x+

π

4

）+1，再由正弦函數(shù)的周期公式和單調(diào)增區(qū)間，即可得到結(jié)果．

解答： 解：（1）f（

5π

4

）=2cos

5π

4

（sin

5π

4

+cos

5π

4

）
=-2cos

π

4

（-sin

π

4

-cos

π

4

）=-

2

•(-

2

)=2．
（2）∵f（x）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1
∴T=

2π

2

=π，即函數(shù)f（x）的最小正周期是π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z．

點(diǎn)評：本題考查二倍角公式和兩角和的正弦公式的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．