Question

函數(shù)y=4sin²x+6cosx-6的值域是（ ）
A．[-6，0]
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：同角三角函數(shù)間的平方關(guān)系sin²x+cos²x=1化簡函數(shù)解析式的第一項，把函數(shù)解析式化為關(guān)于cosx的二次函數(shù)，并配方為頂點形式，由x的范圍，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出cosx的值域，即為二次函數(shù)自變量的取值范圍，根據(jù)題意畫出二次函數(shù)的圖象，由圖象可得函數(shù)的最小值及最大值，即可得到函數(shù)的值域．
解答：解：函數(shù)y=4sin²x+6cosx-6
=4（1-cos²x）+6cosx-6
=-4（cosx-）²+，
∵，∴-≤cosx≤1，
根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象，如圖所示：

根據(jù)圖象可得當cosx=-時，函數(shù)y=-4（cosx-）²+取得最小值，最小值為-6，
當cosx=時，函數(shù)y=-4（cosx-）²+取得最大值，最大值為，
則函數(shù)的值域為[-6，]．
故選B
點評：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，余弦函數(shù)的定義域與值域，以及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，其中把函數(shù)解析式化為關(guān)于cosx的二次函數(shù)，并畫出相應的圖形是解本題的關(guān)鍵．