Question

某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是

1

3

，遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是2 分鐘．設(shè)這名學(xué)生在路上遇到紅燈的個(gè)數(shù)為變量ξ、停留的總時(shí)間為變量X，
（1）求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率；
（2）這名學(xué)生在上學(xué)路上遇到紅燈的個(gè)數(shù)至多是2個(gè)的概率．
（3）求X的標(biāo)準(zhǔn)差

D(X)

．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）設(shè)“這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈”為事件A，說(shuō)明路過(guò)前兩個(gè)路口遇到的都不是紅燈，利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可得出；
（2）由題意可知：這名學(xué)生在路上遇到紅燈的個(gè)數(shù)變量ξ～B(4，

1

3

)，即可得出；
（3）利用二項(xiàng)分布的方差的計(jì)算公式和性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)“這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈”為事件A，說(shuō)明路過(guò)前兩個(gè)路口遇到的都不是紅燈，因此則P（A）=(1-

1

3

)2×

1

3

=

4

27

；
（2）由題意可知：這名學(xué)生在路上遇到紅燈的個(gè)數(shù)變量ξ～B(4，

1

3

)，∴P（ξ≤2）=P（ξ=0）+P（ξ=1）+P（ξ=2）=(1-

1

3

)4+

C

1 4

×

1

3

×(1-

1

3

)3+

C

2 4

(

1

3

)2(1-

1

3

)2=

8

9

．
（3）由（2）可知：D（ξ）=4×

1

3

×(1-

1

3

)=

8

9

．
∴D（X）=D（2ξ）=2²D（ξ）=

32

9

．
∴

D(X)

=

32 9

=

4 2

3

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式、二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式、分布列及其方差與性質(zhì)設(shè)解題的關(guān)鍵．