Question

【題目】已知函f（x）=x2﹣x+alnx．
（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個極值點(diǎn)x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求證f（x2）＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2x﹣1+ ，

當(dāng)a=1時，f（1）=1﹣1+1n1=0，

f′（1）=2﹣1+1=2，

即函數(shù)y=（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線斜率k=2，

則對應(yīng)的切線方程為y=2（x﹣1），即y=2x﹣2；

（2）證明：由題意，f（x）=x2﹣x+1+alnx的定義域?yàn)椋?，+∞），

∴f′（x）=2x﹣1+ = ；

∵f（x）有兩個極值點(diǎn)x1，x2，

∴f′（x）=0有兩個不同的正實(shí)根x1，x2，

∵2x2﹣x+a=0的判別式△=1﹣8a＞0，解得a＜ ；

∴x1+x2= ，x1x2= ＞0，

∴a＞0；

綜上，a的取值范圍為（0， ）．

∵0＜x1＜x2，且x1+x2= ，

∴ ＜x2＜ ，a=x2﹣2 ，

∴f（x2）= ﹣x2+1+（x2﹣2 ）lnx2．

設(shè)t=x2，

令g（t）=t2﹣t+1+（t﹣2t2）lnt，其中 ＜t＜ ，

則g′（t）=（1﹣4t）lnt．

當(dāng)t∈（ ， ）時，g′（t）＞0，

∴g（t）在（ ， ）上是增函數(shù)．

∴g（t）＜g（ ）=（ ）2﹣ +1+（ ﹣2×（ ）2）ln = ．

故f（x2）=g（x2）＜ ．

【解析】（1）對f（x）求導(dǎo)數(shù)，f′（x）=0有兩個不同的正實(shí)根x1 ， x2 ， 由判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系求出a的取值范圍；（2）由x1、x2的關(guān)系，用x2把a(bǔ)表示出來，求出f（x2）的表達(dá)式與取值范圍即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，需要了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．