Question

【題目】設(shè)函數(shù)，．

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及所有零點；

（2）設(shè)，，為函數(shù)圖象上的三個不同點，且

．問：是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在點處的切線與直線平行？若存在，求出所有滿足條件的實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，零點是；（2）存在，且.

【解析】

試題分析：（1）定義域為，當(dāng)時，求導(dǎo)得，由于沒辦法畫圖導(dǎo)函數(shù)圖象，所以再次求導(dǎo)得，故一階導(dǎo)數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，所以原函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，且是唯一零點；（2）化簡，，由此求得處切線的斜率，利用兩點坐標(biāo)，求出直線的斜率，兩者相等，化簡后按，討論后可知符合題意.

試題解析：

解：（1）當(dāng)時，，

則，

記，

則，即，

從而，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即恒成立，

故在上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間，又，則0為唯一零點．

（2）由題意知，

則，

直線的斜率，則有：，

即，

即，

即，即，①

當(dāng)時，①式恒成立，滿足條件；

當(dāng)時，①式得，②

記，不妨設(shè)，則，②式得．③

由（1）問可知，方程③在上無零點．

綜上，滿足條件的實數(shù)．