已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,且過點(diǎn)
.
(Ⅰ)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)與圓相切的直線
交拋物線于不同的兩點(diǎn)
若拋物線上一點(diǎn)
滿足
,求
的取值范圍.
(Ⅰ) ; (Ⅱ)
.
解析試題分析:(Ⅰ) 由題意設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,把已知點(diǎn)代入解得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)先由直線與圓相切得圓心到直線的距離為圓的半徑,可得與
的關(guān)系式,在把直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組整理為關(guān)于
的方程,利用判別式大于0求得
的取值范圍,并設(shè)出交點(diǎn)
的坐標(biāo),由根與系數(shù)的關(guān)系式和已知向量的關(guān)系式,把
點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來,再代入拋物線方程,把
用
表示出來,從而可得
的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ) 設(shè)拋物線方程為, 由已知得:
, 所以
,
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 . 4分
(Ⅱ) 因?yàn)橹本€與圓相切, 所以 , 6分
把直線方程代入拋物線方程并整理得:, 7分
由, 得
或
, 8分
設(shè), 則
,
,
由,
得 , 11分
因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線
上,所以,
, 13分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ba/f/jeoqc1.png" style="vertical-align:middle;" />或,所以
或
,
所以 的取值范圍為
. 15分
考點(diǎn):1、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程;2、直線與拋物線相交和直線與圓相切的綜合應(yīng)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l與拋物線y2=4x相交于不同的A、B兩點(diǎn).
(1)如果直線l過拋物線的焦點(diǎn),求·
的值;
(2)如果·
=-4,證明直線l必過一定點(diǎn),并求出該定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
矩形的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),邊
與
軸平行,
=8,
=6.
分別是矩形四條邊的中點(diǎn),
是線段
的四等分點(diǎn),
是線段
的四等分點(diǎn).設(shè)直線
與
,
與
,
與
的交點(diǎn)依次為
.
(1)求以為長軸,以
為短軸的橢圓Q的方程;
(2)根據(jù)條件可判定點(diǎn)都在(1)中的橢圓Q上,請以點(diǎn)L為例,給出證明(即證明點(diǎn)L在橢圓Q上).
(3)設(shè)線段的
(
等分點(diǎn)從左向右依次為
,線段
的
等分點(diǎn)從上向下依次為
,那么直線
與哪條直線的交點(diǎn)一定在橢圓Q上?(寫出結(jié)果即可,此問不要求證明)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知圓心坐標(biāo)為的圓
與
軸及直線
均相切,切點(diǎn)分別為
、
,另一圓
與圓
、
軸及直線
均相切,切點(diǎn)分別為
、
.
(1)求圓和圓
的方程;
(2)過點(diǎn)作
的平行線
,求直線
被圓
截得的弦的長度;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為
,準(zhǔn)線為
,
,以
為圓心的圓
與
相切于點(diǎn)
,
的縱坐標(biāo)為
,
是圓
與
軸除
外的另一個(gè)交點(diǎn).
(I)求拋物線與圓
的方程;
( II)已知直線,
與
交于
兩點(diǎn),
與
交于點(diǎn)
,且
, 求
的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)
,
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)
為橢圓
上的動(dòng)點(diǎn),求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
,過
的直線交拋物線
于
兩點(diǎn),直線
分別與直線
:
相交于
兩點(diǎn).
(1)求拋物線的方程;
(2)證明△ABO與△MNO的面積之比為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓過點(diǎn)
,離心率為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)且斜率為
(
)的直線
與橢圓
相交于
兩點(diǎn),直線
、
分別交直線
于
、
兩點(diǎn),線段
的中點(diǎn)為
.記直線
的斜率為
,求證:
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為
,且過點(diǎn)
.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過點(diǎn)C(-1,0)且斜率為的直線
與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)
,試問在
軸上是否存在點(diǎn)
,使
是與
無關(guān)的常數(shù)?若存在,求出點(diǎn)
的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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